题文
已知函数，f（x）=bx+cax2+1（a，c∈R，a＞0，b是自然数）是奇函数，f（x）有最大值12，且．f（1）＞25．（1）求函数f（x）的解析式；
（2）是否存在直线l与y=f（x）的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点（1，0）对称，若存在，求出直线l的方程，若不存在，说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由f（x）为奇函数得f（-x）+f（x）=0，即bx+cax2+1+-bx+cax2+1=0∴c=0．
又a＞0，b是自然数，
∴当x＜0时，f（x）＜0，
当x＞0时，f（x）＞0，
故f（x）的最大值12必在x＞0时取得；
当x＞0时，f（x）=bxax2+1=bax+1x≤b2a
当且仅当ax=1x，即x=1a时取得b2a=12，即a=b2
又f（1）＞25
∴2b2-5b+2＜0，即（2b-1）（b-2）＜0，
12＜b＜2又a＞0，b是自然数可得a=b=1，
∴f（x）=xx2+1
（2）假设存在直线l与y=f（x）的图象交于P、Q两点，并且使得P、Q两点关于点（1，0）对称，
设P（x0，y0）则Q（2-x0，-y0）所以x0x02+1=y02-x0(2-x0)2+1=-y0消去y0，得x02-2x0-1=0
解得：x0=1±2，所以P点坐标为（1+2，24）或（1-2，-24），故对应Q点的坐标为（1-2，-24）或（1+2，24）
故过于P、Q两点的直线方程为：x-4y-1=0
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解析
bx+cax2+1考点
据考高分专家说，试题“已知函数，f（x）=bx+cax2+1（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
