题文
设a∈R，f（x）为奇函数，且f(2x)=a•4x-a-24x+1（1）试求f（x）的反函数f-1（x）的解析式及f-1（x）的定义域；
（2）设g(x)=log21+xk，是否存在实数k，使得对于任意的x∈[12，23]，f-1（x）≤g（x）恒成立，如果存在，求实数k的取值范围．如果不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）因为f（x）为奇函数，且x∈R所以f（0）=0，得a=1，f(x)=2x-12x+1f-1(x)=log21+x1-x，x∈(-1，1)（6分）（2）假设存在满足条件的实数k．
因为x∈[12，23]，所以k＞0
由f-1（x）≤g（x）得log21+x1-x≤log21+xk，所以0＜1+x1-x≤(1+xk)2，
所以当x∈[12，23]时，k2≤1-x2恒成立（10分）
即k2≤(1-x2)min=59，又k＞0
所以k的取值范围是0＜k≤53（14分）
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解析
2x-12x+1考点
据考高分专家说，试题“设a∈R，f（x）为奇函数，且f(2x).....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
