题文
已知函数f（x）=lg（3-（3-1）tanx-tan2x）．（1）求函数f（x）的定义域．
（2）若β是两个模长为2的向量a，b的夹角，且不等式f（x）≤lg（1+sinβ）对于定义域内的任意实数x恒成立，求a +b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解．（1）令3-(3-1)tanx-tan2 x＞0，得-3＜tanx＜1，…（2分）由此可得所求函数的定义域为D={x|kπ-π3＜x＜kπ+π4，k∈Z}．…（4分）
（2）当x∈D时，tanx∈(-3，1)而0＜3-(3-1)tanx-tan2x=(3+tanx)(1-tanx)
≤((3+tanx)+(1-tanx)2)2=1+32 …（6分）
取等条件是3+tanx=1-tanx即tanx=1-32，
故f（x）有最大值lg(1+32)，…（7分）
原不等式等价于lg(1+32)≤lg(1+sinβ)
∴sinβ≥32且0≤β≤π
∴π3≤β≤2π3
∴π6≤β≤π3…（8分）
又|a+b|=(a+b)2=8+8cosβ=4|cosβ2|=4cosβ2 …（10分）
当12β=π6时有最大值23而当12β=13π时有最小值2，
故|a+b|的值域是[2，23]．（12分）
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解析
3考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=lg（3-（3-1）t.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
