设函数f=x2+2x-2ln．求函数f的单调区间；当x∈[1e-1，e-1]时，是否存在整数m，使不等式m＜f≤-m2+

题文

设函数f（x）=x²+2x-2ln（1+x）．
（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）当x∈[1e-1，e-1]时，是否存在整数m，使不等式m＜f（x）≤-m²+2m+e²恒成立？若存在，求整数m的值；若不存在，请说明理由．
（Ⅲ）关于x的方程f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有两个相异实根，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

解析：（Ⅰ）由1+x＞0得函数f（x）的定义域为（-1，+∞），
f′(x)=2x+2-2x+1=2x(x+2)x+1．
由f′（x）＞0得x＞0；由f′（x）＜0得-1＜x＜0，
∴函数f（x）的递增区间是（0，+∞）；递减区间是（-1，0）．
（Ⅱ）由（Ⅰ）知，f（x）在[1e-1，0]上递减，在[0，e-1]上递增．
∴f（x）_min=f（0）=0
又∵f(1e-1)=1e2+1，f（e-1）=e²-3，且e2-3＞1e2+1，
∴x∈[1e-1，e-1]时，f（x）_max=e²-3．
∵不等式m＜f（x）≤-m²+2m+e²恒成立，
∴-m2+2m+e2≥f(x)maxm＜f(x)min  ，
即-m2+2m+e2≥e2-3m＜0  ⇒m2-2m-3≤0m＜0  ⇒-1≤m≤3m＜0  ⇒-1≤m＜0
∵m是整数，∴m=-1．
∴存在整数m，使不等式m＜f（x）≤-m²+2m+e²恒成立．
（Ⅲ）由f（x）=x²+x+a得x-a-2ln（1+x）=0，x∈[0，2]
令g（x）=x-a-2ln（1+x），则g′(x)=1-21+x=x-1x+1，x∈[0，2]
由g′（x）＞0得1＜x≤2；由g′（x）＜0得0≤x＜1．
∴g（x）在[0，1]上单调递减，在[1，2]上单调递增．
∵方程f（x）=x²+x+a在[0，2]上恰有两个相异的实根，
∴函数g（x）在[0，1）和（1，2]上各有一个零点，
∴g(0)≥0g(1)＜0g(2)≥0⇒-a≥01-a-2ln2＜02-a-2ln3≥0⇒a≤0a＞1-2ln2a≤2-2ln3⇒1-2ln2＜a≤2-2ln3，
∴实数a的取值范围是1-2ln2＜a≤2-2ln3

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解析

2x+1

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=x2+2x-2ln（1+.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|