题文
已知函数f（x）=xe-x+（x-2）ex-a（e≈2.73）．（Ⅰ）当a=2时，证明函数f（x）在R上是增函数；
（Ⅱ）若a＞2时，当x≥1时，f（x）≥x2-2x+1ex恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）当a=2时，f（x）=xe-x+（x-2）ex-2，f（x）的定义域为R，f′（x）=e-x-xe-x+ex-2+（x-2）ex-2=（x-1）（ex-2-e-x）=e-x（x-1）（ex-1-1）（ex-1+1）．
当x≥1时，x-1≥0，ex-1-1≥0，所以f′（x）≥0，
当x＜1时，x-1＜0，ex-1-1＜0，所以f′（x）≥0，
所以对任意实数x，f′（x）≥0，
所以f（x）在R上是增函数；
（II）当x≥1时，f（x）≥x2-2x+1ex恒成立，即（x-2）e2x-a-x2+3x-1≥0恒成立，
设h（x）=（x-2）e2x-a-x2+3x-1（x≥1），则h′（x）=（2x-3）（e2x-a-1），
令h′（x）=（2x-3）（e2x-a-1）=0，解得x1=32，x2=a2，
（1）当1＜a2＜32，即2＜a＜3时，
x（1，a2）a2（a2，32）32（32，+∞）h′（x）+0-0+h（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以要使结论成立，则h（1）=-e2-a+1≥0，h（32）=-12e3-a+54≥0，即e2-a≤1，e3-a≤52，
解得a≥2，a≥3-ln52，所以3-ln52≤a＜3；
（2）当a2=32，即a=3时，h′（x）≥0恒成立，所以h（x）是增函数，又h（1）=-e-1+1＞0，
故结论成立；
（3）当a2＞32，即a＞3时，
x（1，32）32（32，a2）a2（a2，+∞）h′（x）+0-0+h（x）单调递增极大值单调递减极小值单调递增所以要使结论成立，
则h（1）=-e2-a+1≥0，h（a2）=-a24+2a-3≥0，即e2-a≤1，a2-8a+12≤0，
解得a≥2，2≤a≤6，所以3＜a≤6；
综上所述，若a＞2，当x≥1时，f（x）≥x2-2x+1ex恒成立，实数a的取值范围是3-ln52≤a≤6． …（12分）
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解析
x2-2x+1ex考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=xe-x+（x-2）e.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
