题文
已知函数f(x)=1-x21+x+x2(x∈R)．（Ⅰ）求函数f（x）的单调区间和极值；
（Ⅱ）若（et+2）x2+etx+et-2≥0对满足|x|≤1的任意实数x恒成立，求实数t的取值范围（这里e是自然对数的底数）；
（Ⅲ）求证：对任意正数a、b、λ、μ，恒有f[(λa+μbλ+μ)2]-f(λa2+μb2λ+μ)≥(λa+μbλ+μ)2-λa2+μb2λ+μ． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）f′(x)=-2x(1+x+x2)-(2x+1)(1-x2)(1+x+x2)2=-[x-(-2+3)]•[x-(-2-3)](1+x+x2)2∴f（x）的增区间为(-2-3，-2+3)，f（x）减区间为(-∞，-2-3)和(-2+3，+∞)．
极大值为f(-2+3)=233，极小值为f(-2-3)=-233．…4分
（Ⅱ）原不等式可化为et≥2(1-x2)1+x+x2由（Ⅰ）知，|x|≤1时，f（x）的最大值为233．
∴2(1-x2)1+x+x2的最大值为433，由恒成立的意义知道et≥433，从而t≥ln433…8分
（Ⅲ）设g(x)=f(x)-x=1-x21+x+x2-x(x＞0)
则g′(x)=f′(x)-1=-(x2+4x+1)(1+x+x2)2-1=-x4+2x3+4x2+6x+2(1+x+x2)2．
∴当x＞0时，g'（x）＜0，故g（x）在（0，+∞）上是减函数，
又当a、b、λ、μ是正实数时，(λa+μbλ+μ)2-λa2+μb2λ+μ=-λμ(a-b)2(λ+μ)2≤0
∴(λa+μbλ+μ)2≤λa2+μb2λ+μ．
由g（x）的单调性有：f[(λa+μbλ+μ)2]-(λa+μbλ+μ)2≥f(λa2+μb2λ+μ)-λa2+μb2λ+μ，
即f[(λa+μbλ+μ)2]-f(λa2+μb2λ+μ)≥(λa+μbλ+μ)2-λa2+μb2λ+μ．…12分
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解析
-2x(1+x+x2)-(2x+1)(1-x2)(1+x+x2)2考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=1-x21+x+x2(.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
