题文
记函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈D，使f（x0）=x0成立，则称以（x0，x0）为坐标的点为函数f（x）图象上的不动点．（1）若函数f(x)=3x+ax+b图象上有两个关于原点对称的不动点，求实数a，b应满足的条件；
（2）设点P（x，y）到直线y=x的距离d=|x-y|2．在（1）的条件下，若a=8，记函数f（x）图象上的两个不动点分别为A1，A2，P为函数f（x）图象上的另一点，其纵坐标yP＞3，求点P到直线A1A2距离的最小值及取得最小值时点P的坐标．
（3）下述命题“若定义在R上的奇函数f（x）图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个”是否正确？若正确，请给予证明；若不正确，请举一反例．若地方不够，可答在试卷的反面． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）函数f(x)=3x+ax+b图象上有两个关于原点对称的不动点，∴f（x）=x有两个互为相反的根
即x2+（b-3）x-a=0有两个互为相反的根
∴b-3=0-a＜0
∴b=3，a＞0
（2）若a=8，b=3则可得f（x）=3x+8x+3=x
∴x=±22即 A1(22，22)，A2(-22，-22)
∴A1A2所在 的直线方程为x-y=0
设P（x，y）则由y=3x+8x+3＞3可得x＜-3
点P到直线A1A2的距离d=|x-y|2=|x2-8x+3|×12=|x+3+1x+3-6|2（x＜-3）
=12[-(x+3)+1-(x+3)+6]≥2-(x+3)•-1x+3+62=42
dmin=42，此时x+3=1x+3即x=-4，P（-4，4）
（3）令g（x）=f（x）-x则由f（x）为奇函数可得g（x）为奇函数
由奇函数的性质可得g（0）=0
当x≠0时，若g（x）=0，则g（-x）=-g（x）=0
∴g（x）=0的零点有奇数个即f（x）=x的根有奇数个
若定义在R上的奇函数f（x）图象上存在有限个不动点，则不动点有奇数个为真命题
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解析
3x+ax+b考点
据考高分专家说，试题“记函数f（x）的定义域为D，若存在x0∈.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
