题文
已知定义域为R的函数f(x)=2x-1a+2x+1是奇函数．（1）求a的值；
（2）求证：f（x）在R上是增函数；
（3）若对任意的t∈R，不等式f（mt2+1）+f（1-mt）＞0恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵函数是奇函数，∴f（1）+f（-1）=0，可得1a+4+-12a+1=0，解之得a=2-----------（3分）
检验：a=2时，f(x)=2x-12+2x+1，
∴f(-x)=2-x-12+2-x+1=2x(2-x-1)2x(2+2-x+1)=1-2x2x+1+2
∴f（x）+f（-x）=0对x∈R恒成立，即f（x）是奇函数．-----------（5分）
（2）证明：令t=2x，则y=t-12+2t=12•t-1t+1=12(1-2t+1)=12-1t+1
设x1∈R，x2∈R且x1＜x2
∵t=2x在R上是增函数，∴0＜t1＜t2
当0＜t1＜t2时，y1-y2=12-1t1+1-(12-1t2+1)=1t2+1-1t1+1=t1-t2(t1+1)(t2+1)
∵0＜t1＜t2
∴t1-t2＜0，t1+1＞0，t2+1＞0
∴y1＜y2，可得f（x）在R上是增函数---------------（10分）
（3）∵f（x）是奇函数
∴不等式f（mt2+1）+f（1-mt）＞0等价于f（mt2+1）＞f（mt-1）
∵f（x）在R上是增函数
∴对任意的t∈R，不原不等式恒成立，即mt2+1＞mt-1对任意的t∈R恒成立，
化简整理得：mt2-mt+2＞0对任意的t∈R恒成立
1°m=0时，不等式即为2＞0恒成立，符合题意；
2°m≠0时，有m＞0△=m2-8m＜0即0＜m＜8
综上所述，可得实数m的取值范围为0≤m＜8-------------（16分）
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解析
1a+4考点
据考高分专家说，试题“已知定义域为R的函数f(x)=2x-1a.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
