y=f是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f=2x-x2；求x＜0时，f的解析式；问是否存在这样的正数a，b，当x∈[a，b]时，g

题文

y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥0时，f（x）=2x-x²；
（1）求x＜0时，f（x）的解析式；
（2）问是否存在这样的正数a，b，当x∈[a，b]时，g（x）=f（x），且g（x）的值域为[1b，1a]若存在，求出所有的a，b值，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设x＜0，则-x＞0于是f（-x）=-2x-x²，-------------------------（2分）
又f（x）为奇函数，所以f（x）=-f（-x）=2x+x²，即f（x）=2x+x²（x＜0），---（4分）
（2）分下述三种情况：
①0＜a＜b≤1，那么1a＞1，而当x≥0，f（x）的最大值为1，
故此时不可能使g（x）=f（x），-------------------------（7分）
②若0＜a＜1＜b，此时若g（x）=f（x），
则g（x）的最大值为g（1）=f（1）=1，得a=1，这与0＜a＜1＜b矛盾；--------------（11分）
③若1≤a＜b，因为x≥1时，f（x）是减函数，则f（x）=2x-x²，于是有1b=g(b)=-b2-2b1a=g(a)=-a2+2a⇔(a-1)(a2-a+1)=0(b-1)(b2-b-1)=0，
考虑到1≤a＜b，解得a=1，b=1+52----（15分）
综上所述a=1b=1+52.-----（16分）

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解析

1a

考点

据考高分专家说，试题“y=f（x）是定义在R上的奇函数，当x≥.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|