题文
若f（x0）是函数f（x）在点x0附近的某个局部范围内的最大（小）值，则称f（x0）是函数f（x）的一个极值，x0为极值点．已知a∈R，函数f（x）=lnx-a（x-1）．（Ⅰ）若a=1e-1，求函数y=|f（x）|的极值点；
（Ⅱ）若不等式f(x)≤-ax2e2+(1+2a-ea)xe恒成立，求a的取值范围．
（e为自然对数的底数） 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）若a=1e-1，则f(x)=lnx-x-1e-1，f′(x)=1x-1e-1．当x∈（0，e-1）时，f'（x）＞0，f（x）单调递增；
当x∈（e-1，+∞）时，f'（x）＜0，f（x）单调递减．…（2分）
又因为f（1）=0，f（e）=0，所以
当x∈（0，1）时，f（x）＜0；当x∈（1，e-1）时，f（x）＞0；
当x∈（e-1，e）时，f（x）＞0；当x∈（e，+∞）时，f（x）＜0．…（4分）
故y=|f（x）|的极小值点为1和e，极大值点为e-1．…（6分）
（Ⅱ）不等式f(x)≤-ax2e2+(1+2a-ea)xe，
整理为lnx+ax2e2-(1+2a)xe+a≤0．…（*）
设g(x)=lnx+ax2e2-(1+2a)xe+a，
则g′(x)=1x+2axe2-1+2ae（x＞0）=2ax2-(1+2a)ex+e2e2x=(x-e)(2ax-e)e2x．…（8分）
①当a≤0时，2ax-e＜0，又x＞0，所以，
当x∈（0，e）时，g'（x）＞0，g（x）递增；
当x∈（e，+∞）时，g'（x）＜0，g（x）递减．
从而g（x）max=g（e）=0．
故，g（x）≤0恒成立．…（11分）
②当a＞0时，g′(x)=(x-e)(2ax-e)e2x=(x-e)(2ae2-1ex)．
令2ae2-1ex=ae2，解得x1=ea，则当x＞x1时，2ae2-1ex＞ae2；
再令(x-e)ae2=1，解得x2=e2a+e，则当x＞x2时，(x-e)ae2＞1．
取x0=max（x1，x2），则当x＞x0时，g'（x）＞1．
所以，当x∈（x0，+∞）时，g（x）-g（x0）＞x-x0，即g（x）＞x-x0+g（x0）．
这与“g（x）≤0恒成立”矛盾．
综上所述，a≤0．…（14分）
点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习
解析
1e-1考点
据考高分专家说，试题“若f（x0）是函数f（x）在点x0附近的.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
