题文
设函数f（x）=x2-mlnx，h（x）=x2-x+a．（1）当a=0时，f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立，求实数m的取值范围；
（2）当m=2时，若函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同零点，求实数 a的取值范围；
（3）当m=2时，如果函数g（x）=-f（x）-ax的图象与x轴交于两点A（x1，0）、B（x2，0）且0＜x1＜x2．求证：g′（px1+qx2）＜0（其中正常数p，q满足p+q=1，且q≥p）． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）由a=0，f（x）≥h（x）可得-mlnx≥-x，即 m≤xlnx记 φ=xlnx，则f（x）≥h（x）在（1，+∞）上恒成立等价于m≤φ（x）min．
求得 φ′(x)=lnx-1ln2x
当x∈（1，e）时；φ′（x）＜0；当x∈（e，+∞）时，φ′（x）＞0
故φ（x）在x=e处取得极小值，也是最小值，
即φ（x）min=φ（e）=e，故m≤e．
（2）函数k（x）=f（x）-h（x）在[1，3]上恰有两个不同的零点等价于方程x-2lnx=a，在[1，3]上恰有两个相异实根．
令g（x）=x-2lnx，则 g′(x)=1-2x
当x∈[1，2）时，g′（x）＜0，当x∈（2，3]时，g′（x）＞0
g（x）在[1，2]上是单调递减函数，在（2，3]上是单调递增函数．
故g（x）min=g（2）=2-2ln2
又g（1）=1，g（3）=3-2ln3
∵g（1）＞g（3），
∴只需g（2）＜a≤g（3），
故a的取值范围是（2-2ln2，3-2ln3〕
（3）∵g′(x)=2x-2x-a，又f（x）-ax=0有两个实根x1，x2，
∴2lnx1-x12-ax1=02lnx2-x22-ax2=0两式相减，得2（lnx1-lnx2）-（x12-x22）=a（x1-x2）
∴a=2(lnx1-lnx2)x1-x2-(x1+x2)，(x1＞0，x2＞0)
于是 g/(px1+qx2)=2px1+qx2-2(px1+qx2)-2(lnx1-lnx2)x1-x2+(x1+x2)
=2px1+qx2-2(lnx1-lnx2)x1-x2+(2p-1)(x2-x1)．
∵q＞p，∴2q≥1，∵2p≤1，∴（2p-1）（x2-x1）＜0．
要证：g′（px1+qx2）＜0，只需证：2px1+qx2-2(lnx1-lnx2)x2-x1＜0．
只需证：x2-x1px1+qx2+lnx1x2＜0．（*）
令 x1x2=t∈(0，1)，∴（*）化为 1-tpt+1+lnt＜0
只证 u(t)=lnt+1-tpt+q＜0即可.u/(t)=1t+-(pt+q)-(1-t)•p(pt+q)2=1t-1(pt+q)2=(pt+q)2-tt(pt+q)2
=p2(t-1)(t-q2p2)t(pt+q)2，q2p2＞1，0＜t＜1，
∴t-1＜0．∴u′（t）＞0，∴u（t）在（0，1）上单调递增，∴u（t）＜u（1）=0
∴u（t）＜0，∴lnt+1-tpt+q＜0．
即：x2-x1px1+qx2+lnx1x2＜0．∴g′（px1+qx2）＜0．
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解析
xlnx考点
据考高分专家说，试题“设函数f（x）=x2-mlnx，h（x）.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
