题文
已知函数f（x）=x（x-a）（x-b），点A（m，f（m）），B（n，f（n））．（1）设b=a，求函数f（x）的单调区间；
（2）若函数f（x）的导函数f′（x）满足：当|x|≤l时，有|f′（x）|≤32恒成立，求函数f（x）的表达式；
（3）若0＜a＜b，函数f（x）在x=m和x=n处取得极值，且a+b≤23．问：是否存在常数a、b，使得OA•OB=0？若存在，求出a，b的值；若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）f（x）=x3-2ax2+a2x 令f'（x）=3x2-4ax+a2=0，得：x1=a3，x2=a．（2分）
1° 当a＞0 时，x1＜x2
∴所求单调增区间是(-∞，a3)，（a，+∞），单调减区间是（a3，a ）
2° 当a＜0 时，所求单调增区间是（-∞，a），(a3，+∞)，单调减区间是（a，a3 ）
3° 当a=0 时，f'（x）=3x2≥0 所求单调增区间是（-∞，+∞）．（5分）
（2）f（x）=x3-（a+b）x2+abx∴f'（x）=3x2-2（a+b）x+ab，
∵当x∈[-1，1]时，恒有|f'（x）|≤32∴-32≤f′(1)≤32，-32≤f′(-1)≤32，-32≤f′(0)≤32，（8分）即-32≤3-2(a+b)+ab≤32-32≤3+2(a+b)+ab≤32-32≤ab≤32 得ab=-32a+b=0
此时，满足当x∈[-1，1]时|f′(x)|≤32恒成立．
∴f(x)=x3-32x．（10分）
（3）存在a，b，使得OA•OB= 0，则m•n+f（m）•f（n）=0
∴mn+mn（m-a）（m-b）（n-a）（n-b）=0由于0＜a＜b，知mn≠0
∴（m-a）（m-b）（n-a）（n-b）=-1＜BR＞①由题设，m，n是f'（x）=0的两根
∴m+n=2(a+b)3，mn=ab3②（12分）②代入①得：ab（a-b）2=9
∴(a+b)2=(a-b)2+4ab=9ab+4ab≥236=12，当且仅当ab=32时取“=”
∴a+b≥23∵a+b≤23∴a+b=23
又∵ab=32，0＜a＜b∴a=23-62，b=23+62．（16分）
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解析
a3考点
据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x（x-a）（x-b）.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
