已知函数f=x4-2ax2．求证：方程f=1有实根；h=f-x在[0，1]上是单调递减的，求实数a的取值范围；当

题文

已知函数f（x）=x⁴-2ax²．
（I）求证：方程f（x）=1有实根；
（II）h（x）=f（x）-x在[0，1]上是单调递减的，求实数a的取值范围；
（III）当x∈[0，1]时，关于x的不等式|f′（x）|＞1的解集为空集，求所有满足条件的实数a的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（I）要证x⁴-2ax²=1的实根，
设t=x²，也就是证明方程t²-2at=1有非负实数根．
而△=4a²+4＞0，故可设t²-2at-1=0的两根为t₁，t₂．
t₁t₂=-1，∴t₁，t₂一正一负，
∴方程有正根
∴方程f（x）=1有实根；
（II）由题设知对任意的x∈[0，1]时，
h′（x）=f′（x）-1=4x³-4ax-1≤0恒成立，
x=0时显然成立；
对任意的0＜x≤1，a≥x²-14x，∴a≥（x²-14x）max
而g（x）=x²-14x在（0，1]上单调增，
∴a≥f（1）=34，
∴a的取值范围为[34，+∞）．
（III）由题设知，当x∈[0，1]时，|4x³-4ax|≤1恒成立
记F（x）=4x³-4ax
若a≤0则F（1）=4-4a≥4，不满足条件；
若a＞0则F′（x）=12x²-4a=12（x-a3）（x+a3）
①当a3＜1即0＜a＜3时，F（x）在[0，a3]上递减，在[a3，1]上递增，
于是，|F（x）|max=max{-F（a3），F（1）}=max{8a3a3，4-4a}≤1
解之得：a=34
②当a3≥1即a≥3时，F（x）在[0，1]上递减，于是|F（x）|max=-F（1）=4-4a≥8，与题意矛盾．
综上所述：a=34．

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解析

14x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x4-2ax2．（I）.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|