题文
已知函数f(x)=1x-log21+x1-x．（1）求f（x）的定义域；
（2）讨论f（x）的奇偶性；
（3）证明f（x）在（0，1）内单调递减． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）x≠01+x1-x＞0⇔-1＜x＜0或0＜x＜1，故f（x）的定义域为（-1，0）∪（0，1）；
（2）∵f(-x)=-1x-log21-x1+x=-(1x-log21+x1-x)=-f(x)，
∴f（x）是奇函数；
（3）设0＜x1＜x2＜1，则f(x1)-f(x2)=(1x1-1x2)+(log21+x21+x2-log21+x11-x1=x2-x1x1x2+log2(1-x1)(1+x2)(1+x1)(1-x2)
∵0＜x1＜x2＜1，∴x2-x1＞0，x1x2＞0，
（1-x1）（1+x2）=1-x1x2+（x2-x1）＞1-x1x2-（x2-x1）=（1+x1）（1-x2）＞0
∴(1-x1)(1+x2)(1+x1)(1-x2)＞1， log2(1-x1)(1+x2)(1+x1)(1-x2)＞0，x2-x1x1x2＞0
∴f（x1）-f（x2）＞0，即f（x1）＞f（x2）∴f（x）在（0，1）内递减．
另f′(x)=-(1x2+21-x2log2e)∴当x∈（0，1）时，f′（x）＜0
故f（x）在（0，1）内是减函数．
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解析
x≠01+x1-x＞0考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=1x-log21+x1.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
