已知函数f=x3-bx2+6x+a，x=2是f的一个极值点．求f的单调递增区间；若当x∈[1，3]时，f-a2＞2恒成立，求

题文

已知函数f（x）=x³-bx²+6x+a，x=2是f（x）的一个极值点．
（1）求f（x）的单调递增区间；
（2）若当x∈[1，3]时，f（x）-a²＞2恒成立，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f'（x）=3x²-2bx+6．---------------------（1分）
∵x=2是f（x）的一个极值点．
∴f'（2）=0，即2是方程3x²-2bx+6=0的一个根，解得b=92．----------------------（3分）
所以f'（x）=3x²-9x+6
令f'（x）＞0，则3x²-9x+6＞0，解得x＞2或x＜1．-----------------------（5分）
∴函数f（x）的单调递增区间为（-∞，1），（2，+∞）．-----------------------（6分）
（2）∵当1＜x＜2时f'（x）＜0，当x＞2或x＜1时，f'（x）＞0，
∴f（x）在（1，2）内单调递减，f（x）在（2，3）内单调递增．-------------------（8分）
∴当x=2时，f（x）取得极小值f（2），同时在区间[1，3]上的也是最小值，且 f（2）=a+2．------------------（10分）
若当x∈[1，3]时，要使f（x）-a²＞2恒成立，只需f（2）＞a²+2，即a+2＞a²+2，------------------（12分）
解得 0＜a＜1．------------------（13分）
即的取值范围是0＜a＜1．

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解析

92

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=x3-bx2+6x+a.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|