设函数f=kx2-kx-6+k．若对于k∈[-2，2]，f＜0恒成立，求实数x的取值范围．若对于x∈[1，2]，f＜0恒成立，求实

题文

设函数f（x）=kx²-kx-6+k．
（1）若对于k∈[-2，2]，f（x）＜0恒成立，求实数x的取值范围．
（2）若对于x∈[1，2]，f（x）＜0恒成立，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）设f（x）=k（x²-x+1）-6=g（k），
则g（k）是关于k的一次函数，且一次项系数为x²-x+1…（2分）
法1、∵x2-x+1=(x-12)2+34＞0∴g（k）在[-2，2]上递增．…（4分）
∴g（k）＜0⇔g（2）=2（x²-x+1）-6＜0∴解得x的取值范围为：-1＜x＜2…（6分）
法2、依题只须g(2)=2x2-2x-4＜0g(-2)=-2x2+2x-8＜0⇒-1＜x＜2x2-x+4＞0(恒成立)∴-1＜x＜2
（2）法1、要使f（x）=k（x²-x+1）-6＜0在x∈[1，2]上恒成立
则只须k＜6x2-x+1在x∈[1，2]上恒成立；…（8分）
而当x∈[1，2]时：6x2-x+1=6(x-12)2+34≥622-2+1=2…（10分）
∴k＜2…（12分）
法2、∵f(x)=k(x-12)2+34k-6＜0在x∈[1，2]上恒成立
∴k＞0f(x)max=f(2)=3k-6＜0或k＜0f(x)max=f(1)=k-6＜0或k=0f(x)=-6＜0
综上解得：k＜2

点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=kx2-kx-6+k．（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|