已知函数f(x)=a•3x+a-23x+1．是否存在实数a使函数f为奇函数？证明你的结论；用单调性定义证明：不论a取任何实数，函数f

题文

已知函数f(x)=a•3x+a-23x+1．（a∈R）
（1）是否存在实数a使函数f（x）为奇函数？证明你的结论；
（2）用单调性定义证明：不论a取任何实数，函数f（x）在其定义域上都是增函数；
（3）若函数f（x）为奇函数，解不等式f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵3^x＞0
3^x+1≠0函数f（x）的定义域为 R即（-∞，+∞）…（1分）
假设存在实数a使函数f（x）为奇函数，
由f（0）=0得2a-23x+1=0解得a=1…（2分），
∴f(x)=3x-13x+1f(-x)=3-x-13-x+1=13x-113x+1=1-3x3x+1=-3x-13x+1=-f(x)
∴当a=1时，函数f（x）为奇函数…（4分）
（2）证明：任取x₁，x₂∈R，且x₁＜x₂
∵f(x)=a-23x+1
f（x₁）-f（x₂）=a-23x1+1-(a-23x2+1)
=23x2+1-23x1+1
=2(3x1+1)-2(3x2+1)(3x1+1)(3x2+1)
=2(3x1-3x2)(3x1+1)(3x2+1)…（7分）
∵x₁＜x₂，
∴3x1＜3x2
∴3x1-3x2＜0
又∵3x1+1＞0，3x2+1＞0
f（x₁）-f（x₂）＜0即f（x₁）＜f（x₂）
∴不论a取何值，函数f（x）在其定义域上都是增函数．…（9分）
（3）由f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0得f（3m²-m+1）＜-f（2m-3）
∵函数f（x）为奇函数
∴-f（2m-3）=f（3-2m）
∴f（3m²-m+1）＜f（3-2m）
由（2）已证得函数f（x）在R上是增函数
∴f（3m²-m+1）＜f（3-2m）⇔3m²-m+1＜3-2m
∴3m²+m-2＜0
∴（3m-2）（m+1）＜0
∴-1＜m＜23．
不等式f（3m²-m+1）+f（2m-3）＜0的解集为{m|-1＜m＜23}．…（14分）

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解析

2a-23x+1

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=a•3x+a-23x+.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|