题文
已知定义在（-1，1）上的函数f（x）满足f(12)=1，且对任意x、y∈（-1，1）有f(x)-f(y)=f(x-y1-xy)．（Ⅰ）判断f（x）在（-1，1）上的奇偶性，并加以证明．
（Ⅱ）令x1=12，xn+1=2xn1+x2n，求数列{f（xn）}的通项公式．
（Ⅲ）设Tn为{2n-1f(xn)}的前n项和，若Tn＜6-3m2对n∈N*恒成立，求m的最大值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）∵对任意x、y∈（-1，1）有f(x)-f(y)=f(x-y1-xy)…①∴令x=y=0得f（0）=0；（1分）
令x=0由①得f（-y）=-f（y），
用x替换上式中的y有f（-x）=-f（x）（2分）
∴f（x）在（-1，1）上为奇函数．（3分）
（Ⅱ）{f（xn）}满足x1=12＜1，则必有xn+1=2xn1+x2n＜2xn2xn=1
否则若xn+1=1则必有xn=1，依此类推必有x1=1，矛盾
∴0＜xn＜1（5分）
∴f(xn+1)=f(2xn1+x2n)=f(xn-(-xn)1-xn•(-xn))=f（xn）-f（-xn）=f（xn）+f（xn）=2f（xn）
∴f(xn+1)f(xn)=2，
又f(x1)=f(12)=1
∴{f（xn）}是1为首项，2为公比的等比数列，（7分）
∴f(xn)=2n-1（8分）
（Ⅲ）2n-1f(xn)=2n-12n-1=2×2n-12n（9分）
故Tn=2(12+322+523+…+2n-12n)…②
12Tn=2×(122+323+524+…+2n-32n+2n-12n+1)…③
②-③得12Tn=2×(12+12+122+123+…+12n-1-2n-12n+1)=3-2n+32n（11分）
∴Tn=6-2n+32n-1＜6（12分）
∴若Tn＜6-3m2对n∈N*恒成立，则须6-3m2≥6，解得m≤2（13分）
∴m的最大值为2． （14分）
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解析
x-y1-xy考点
据考高分专家说，试题“已知定义在（-1，1）上的函数f（x）满.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
