已知偶函数y=f在区间[-1，0]上是增函数，且满足f+f=0，下列判断中错误的是A．f=0B．函数f在[1，2]

题文

已知偶函数y=f（x）在区间[-1，0]上是增函数，且满足f（1-x）+f（1+x）=0，下列判断中错误的是（ ）A．f（5）=0B．函数f（x）在[1，2]上单调递减C．函数f（x）的图象关于直线 x=1对称D．函数f（x）的周期是T=4 题型：未知 难度：其他题型

答案

对于A，令x=0代入题中等式，得f（1-0）+f（1+0）=0
∴f（1）=0，结合函数为偶函数得f（-1）=f（1）=0
再令x=2代入题中等式，，得f（1-2）+f（1+2）=0，得f（3）=-f（-1）=0
结合函数为偶函数得f（-3）=f（3）=0
最后令x=4，f（1-4）+f（1+4）=0，得f（5）=-f（-3）=0，故A项正确；
对于B，因为偶函数y=f（x）图象关于y轴对称，在区间[-1，0]上是增函数，
所以y=f（x）在区间[0，1]上是减函数，
设F（x）=f（1+x），得F（-x）=f（1-x）
因为f（1-x）+f（1+x）=0，得f（1+x）=-f（1-x），
所以F（x）=f（1+x）是奇函数，图象关于原点对称．由此可得y=f（x）图象关于点（1，0）对称．
∵区间[1，2]和区间[0，1]是关于点（1，0）对称的区间，且在对称的区间上函数的单调性一致
∴函数f（x）在[1，2]上单调递减，故B项正确；
对于C，由B项的证明可知，y=f（x）图象关于点（1，0）对称，
若f（x）的图象同时关于直线 x=1对称，则f（x）=0恒成立，
这样与“在区间[-1，0]上f（x）是增函数”矛盾，故C不正确；
对于D，因为f（x）=f（1-（1-x））=-f（1+（1+x））=-f（x+2）
所以f（x+2）=-f（x+4），可得f（x+4）=f（x），函数f（x）的周期是T=4，D项正确
故选：C

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知偶函数y=f（x）在区间[-1，0].....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|