已知函数f是定义在R上的奇函数，若f在区间[1，a]上单调递增，且f＞0，则以下不等式不一定成立的是A．f(1-3a1+a)

题文

已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若f（x）在区间[1，a]（a＞2）上单调递增，且f（x）＞0，则以下不等式不一定成立的是（ ）A．f(1-3a1+a)＞f(-2)B．f(1-3a1+a)＞f(-a)C．f(a+12)＞f(a)D．f（a）＞f（0） 题型：未知 难度：其他题型

答案

因为f（x）为奇函数，所以f（1-3a1+a）＞f（-a）等价于f（3a-11+a）＜f（a），
由a＞2，得3a-11+a=3-41+a＞3-43=53＞1，且3a-11+a-a=-(a-1)21+a＜0，即得1＜3a-11+a＜a，
又f（x）在区间[1，a]上单调递增，所以f（3a-11+a）＜f（a），即f（1-3a1+a）＞f（-a）成立，排除B；
因为a＞2，所以1＜a＜a+12＜a，又f（x）在区间[1，a]上单调递增，所以f（a+12）＞f（a）成立，排除C；
因为f（x）是R上的奇函数，所以f（0）=0，又x∈[1，a]时，f（x）＞0，所以f（a）＞f（0）成立，排除D；
f（1-3a1+a）＞f（-2）等价于f（3a-11+a）＜f（2），
3a-11+a-2=a-31+a，因为a＞2，所以a-31+a符号不定，即3a-11+a与2大小关系不确定，
所以f（1-3a1+a）＞f（-2）不一定成立．
故选A．

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解析

1-3a1+a

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）是定义在R上的奇函数，若.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|