题文
设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值为-8，其导函数y=f′（x）的图象开口向下且经过点(-2，0)，(23，0)．（I）求f（x）的解析式；
（II）方程f（x）+p=0有唯一实数解，求实数P的取值范围．
（II）若对x∈[-3，3]都有f（x）≥m2-14m恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵f'（x）=3ax2+2bx+c，且y=f'（x）的图象经过点（-2，0），（ 23，0），∴-2+23=-2b3a-2•23=c3a
解得b=2ac=-4a
∴f（x）=ax3+2ax2-4ax，
∵y=f'（x）的图象开口向下
∴当x∈（-∞，-2）∪（23，+∞）时，f'（x）＜0
当x∈（-2，23）时，f'（x）＞0
∴函数y=f（x）在（-∞，-2）上单调递减，在（-2，23）上单调递增，在（23，+∞）上单调递减，
由f（x）极小值=f（-2）=a（-2）3+2a（-2）2-4a（-2）=-8，
解得a=-1
∴f（x）=-x3-2x2+4x
（2）由（1）得
当x=-2时，f（x）的极小值为-8，
当x=23时，f（x）的极大值为4027，
若方程f（x）+p=0有唯一实数解，
则函数f（x）的图象与直线y=-p有且只有一个交点
则p＜-4027，或p＞8
（3）要使对x∈[-3，3]都有f（x）≥m2-14m恒成立，
只需f（x）min≥m2-14m即可．
由（1）可知函数y=f（x）在[-3，2）上单调递减，在（-2，23）上单调递增，在（ 23，3]上单调递减
且f（-2）=-8，f（3）=-33-2×32+4×3=-33＜-8
∴f（x）min=f（3）=-33（11分）-33≥m2-14m⇒3≤m≤11
故所求的实数m的取值范围为{m|3≤m≤11}．
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解析
23考点
据考高分专家说，试题“设f（x）=ax3+bx2+cx的极小值.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
