已知数列{an}中，a1=2，对于任意的p，q∈N+，有ap+q=ap+aq，数列{bn}满足：an=b12+1-b222+1+b323+1-b424+1+…+

题文

已知数列{a_n}中，a₁=2，对于任意的p，q∈N⁺，有a_p+q=a_p+a_q，数列{b_n}满足：an=b12+1-b222+1+b323+1-b424+1+…+(-1)n-1bn2n+1，（n∈N^•），
（1）求数列{a_n}的通项公式和数列{b_n}的通项公式；
（2）设Cn=3n+λbn(n∈N•)，是否存在实数λ，当n∈N⁺时，C_n+1＞C_n恒成立，若存在，求实数λ的取值范围，若不存在，请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）取p=n，q=1，则a_n+1=a_n+a₁=a_n+2
∴a_n+1-a_n=2（n∈N^*）
∴{a_n}是公差为2，首项为2的等差数列
∴a_n=2n
∵an=b12+1-b222+1+b323+1-b424+1+…+(-1)n-1bn2n+1（n≥1）①
∴an-1=b12+1-b222+1+b323+1-b424+1+…+(-1)n-2bn-12n-1+1（n≥2）②
①-②得：(-1)n-1bn2n+1=2（n≥2）b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）（n≥2）
当n=1时，a1=b13∴b₁=6满足上式
∴b_n=（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）（n∈N^*）
（2）C_n=3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）•λ
假设存在λ，使C_n+1＞C_n（n∈N^*）3ⁿ⁺¹+（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）•λ＞3ⁿ+（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）•λ[（-1）ⁿ（2ⁿ⁺²+2）-（-1）^n-1（2ⁿ⁺¹+2）]•λ＞3ⁿ-3ⁿ⁺¹=-2•3ⁿ（-1）ⁿ（3•2ⁿ⁺¹+4）•λ＞-2•3ⁿ
当n为正偶函数时，（3•2ⁿ⁺¹+4）λ＞-2•3ⁿ恒成立λ＞（-3n3•2n+2）max=（-13•(23)n+2•(13)n）max
当n=2时（-13•(23)n+2•(13)n）max=-914
∴λ＞-914
当n为正奇数时，-（3•2ⁿ⁺¹+4）•λ＞-2•3ⁿ恒成立
∴λ＜（3n3•2n+2）min=（13•(23)n+2•(13)n）min
当n=1时[13•(23)n+2•(13)n]min=38
∴λ＜38
综上，存在实数λ，且λ∈（-914，38）（16分）

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解析

b12+1

考点

据考高分专家说，试题“已知数列{an}中，a1=2，对于任意的.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|