题文
已知定义在R上的函数f(x)=Acos(ωx+φ)(A＞0，ω＞0，|φ|≤π2)，最大值与最小值的差为4，相邻两个最低点之间距离为π，且函数y=sin(2x+π3)图象所有的对称中心都在y=f（x）图象的对称轴上．（1）求f（x）的表达式；
（2）若f(x02)=32(x0∈[-π2，π2])，求cos(x0-π3)的值；
（3）设a=(f(x-π6)，1)，b=(1，mcosx)，x∈(0，π2)，若a•b+3≥0恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）依题意可知：A=2，T=π，y=sin(2x+π3)与f（x）相差T4+kT，k∈Z，即相差π4+kπ，k∈Z，所以f(x)=Asin[2(x+π4+kπ)+π3]=Acos(2x+π3)
或f(x)=Asin[2(x-π4+kπ)+π3]=Acos(2x+4π3)（舍），
故f(x)=2cos(2x+π3)．
（2）因为f(x02)=32(x0∈[-π2，π2])，即cos(x0+π3)=34，
因为x0+π3∈[-π6，5π6]，又cos(-π6)=32＞34，y=cosx在[-π6，0]单调递增，
所以x0+π3∈[0，π2]，
所以sin(x0+π3)=1-(34)2=74，于是
cos(x0-π3)=cos(x0+π3-2π3)=cos(x0+π3)cos2π3+sin(x0+π3)sin2π3=-34•12+74•32=21-38
（3）因为a=(f(x-π6)，1)，b=(1，mcosx)，x∈(0，π2)
a•b+3=f(x-π6)+mcosx+3=2cos2x+mcosx+3=4cos2x+mcosx+1，
于是4cos2x+mcosx+1≥0，得m≥-4cosx-1cosx对于x∈(0，π2)恒成立，
因为(-4cosx-1cosx)max=-4，
故m≥-4．
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解析
π3考点
据考高分专家说，试题“已知定义在R上的函数f(x)=Acos(.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
