设函数f(x)=x3-tx+t-12，t∈R．试讨论函数f在区间[0，1]上的单调性：求最小的实数h，使得对任意x∈[0，1]及任意实数t，

题文

设函数f(x)=x3-tx+t-12，t∈R．
（I）试讨论函数f（x）在区间[0，1]上的单调性：
（II）求最小的实数h，使得对任意x∈[0，1]及任意实数t，f(x)+|t-12|+h≥0恒成立． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵函数f(x)=x3-tx+t-12，t∈R，∴f^′（x）=3x²-t．
1°若t≤0，则f^′（x）≥0（不恒等于0）在[0，1]上恒成立，∴f（x）在[0，1]上单调递增；
2°若t≥3时，∵3x²≤3，∴f^′（x）≤0在[0，1]上恒成立，∴f（x）在[0，1]上单调递减；
3°若0＜t＜3，则f′(x)=3(x+t3)(x-t3)，令f^′（x）=0，解得x=t3，
当x∈[0，t3)时，f^′（x）＜0，∴f（x）在x∈[0，t3)上单调递减；
当x∈(t3，1]时，f^′（x）＞0，∴f（x）在x∈(t3，1]上单调递增．
（2）f(x)+|t-12|+h≥0⇔f(x)+|t-12|≥-h，因此，只需求出当x∈[0，1]，t∈R时，f(x)+|t-12|的最小值即可．
方法一：令g（x）=f（x）+|t-12|，x∈[0，1]，
而g^′（x）=f^′（x），由（1）的结论可知：
当t≤0或t≥3时，则g（x）在[0，1]上单调，故g（x）_min=min{g（0），g（1）}=min{t-12+|t-12|，1-t2+|t-12|}=0．
当0＜t＜3时，则g(x)min=g(t3)=-23tt3+t-12+|t-12|．
∴h（t）=0，当t≤0或t≥3时-23tt3+t-12+|t-12|，当0＜t＜3时．
下面求当t∈R时，关于t的函数h（t）的最小值．
当t∈（0，1）时，h（t）=-2t3t3在（0，1）上单调递减；
当1＜t＜3时，h（t）=-2t3t3+t-1，h′(t)=1-t3＞0，∴h（t）在（1，3）上单调递增．又h（t）在t=1处连续，故h（t）在t∈（0，3）上的最小值是h（1）=-239．
综上可知：当t∈[0，1]且t∈R时，f(x)+|t-12|的最小值为m=-239，即得h的最小值为-m=239．
方法2：对于给定的x∈[0，1]，求关于t的函数（t∈R），
g（t）=f（x）+|t-12|=-xt+t-12+|t-12|+x³=-xt+x3，当t＜1时(1-x)t+x3-1，当t≥1时的最小值．
由于-x≤0，当t∈（-∞，1）时，g^′（t）≤0；由于1-x≥0，故当t∈（1，+∞）时，g^′（t）≥0．
考虑到g（t）在t=1处连续，∴g（t）的最小值h（x）=x³-x．
下面再求关于x的函数h（x）=x³-x在x∈[0，1]时的最小值．
h^′（x）=3x²-1，令h^′（x）=0，解得x=33．
当x∈(0，33)时，h^′（x）＜0，函数h（x）在此区间上单调递减；当x∈(33，1)时，h^′（x）＞0，函数h（x）在此区间上单调递增．
故h（x）的最小值为h(33)=-239．
综上可得：当x∈（0，1）时，且t∈R.f(x)+|t-12|的最小值m=-239，即得h的最小值为-m=239．

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解析

t-12

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=x3-tx+t-12，t.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|