已知函数f=e2x-1-2x-kx2当k=0时，求f的单调区间；若x≥0时，f≥0恒成立，求k的取值范围．试比较e2n-1e

题文

已知函数f（x）=e^2x-1-2x-kx²
（Ⅰ）当k=0时，求f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若x≥0时，f（x）≥0恒成立，求k的取值范围．
（Ⅲ）试比较e2n-1e2-1与2n33+n3（n为任意非负整数）的大小关系，并给出证明． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）当k=0时，f（x）=e^2x-1-2x，
f^′（x）=2e^2x-2，
令f^′（x）＞0，则2e^2x-2＞0，解得：x＞0．
令f^′（x）＜0，则2e^2x-2＜0，解得：x＜0．
所以，函数f（x）=e^2x-1-2x的单调增区间为（0，+∞）．
单调减区间为（-∞，0）．
（Ⅱ）由函数f（x）=e^2x-1-2x-kx²，
则f^′（x）=2e^2x-2kx-2=2（e^2x-kx-1），
令g（x）=e^2x-kx-1，
则g^′（x）=2e^2x-k．
由x≥0，
所以，①当k≤2时，g^′（x）≥0，g（x）为增函数，而g（0）=0，
所以g（x）≥0，即f^′（x）≥0，所以f（x）在[0，+∞）上为增函数，
而f（0）=0，所以f（x）≥0在[0，+∞）上恒成立．
②当k＞2时，令g^′（x）＜0，即2e^2x-k＜0，则0≤x＜12lnk2．
即g（x）在[0，12lnk2）上为减函数，而g（0）=0，所以，g（x）在[0，12lnk2）上小于0．
即f^′（x）＜0，所以，f（x）在[0，12lnk2）上为减函数，而f（0）=0，故此时f（x）＜0，不合题意．
综上，k≤2．
（Ⅲ）e2n-1e2-1≥2n33+n3．
事实上，由（Ⅱ）知，f（x）=e^2x-1-2x-2x²在[0，+∞）上为增函数，
所以，e^2x≥2x²+2x+1=x²+（x+1）²，
则e⁰≥1²
e²≥1²+2²
e⁴≥2²+3²
e⁶≥3²+4²
…
e^2（n-1）≥（n-1）²+n²
累加得：1+e²+e⁴+e⁶+…+e^2（n-1）≥2（1²+2²+3²+…+（n-1）²）+n²．
即1-e2n1-e2≥2×(n-1)n(2n-1)6+n2．
所以，e2n-1e2-1≥2n33+n3．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=e2x-1-2x-kx.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|