题文
已知函数f(x)=2x-a2x（a∈R），将y=f（x）的图象向右平移两个单位，得到函数y=g（x）的图象，函数y=h（x）与函数y=g（x）的图象关于直线y=1对称．（Ⅰ）求函数y=g（x）和y=h（x）的解析式；
（Ⅱ）若方程f（x）=a在x∈[0，1]上有且仅有一个实根，求a的取值范围；
（Ⅲ）设F（x）=f（x）+h（x），已知F（x）＞2+3a对任意的x∈（1，+∞）恒成立，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（Ⅰ）由题意可得g(x)=f(x-2)=2x-2-a2x-2．设y=h（x）的图象上一点P（x，y），点P（x，y）关于y=1的对称点为Q（x，2-y），
由点Q在y=g（x）的图象上，所以2x-2-a2x-2=2-y，
于是y=2-2x-2+a2x-2，即h(x)=2-2x-2+a2x-2．
（Ⅱ）设t=2x，∵x∈[0，1]，∴t∈[1，2]．
由2x-a2x=a得t-at=a，即t2-at-a=0在t∈[1，2]上有且仅有一个实根．
设k（t）=t2-at-a，对称轴t=a2．
若k（1）=0，则a=12，两根为t1=1，t2=-12．适合题意；
若k（2）=0，则a=43，两根为t1=2，t2=-23．适合题意．
若在（1，2）内有且仅有一个实根，则k（1）•k（2）＜0①或 △=01≤a2≤2②
由①得 (1-2a)(4-3a)＜0⇔12＜a＜43；
由②得 a2+4a=02≤a≤4无解．
综上可得a∈[12，43]．
（Ⅲ）F(x)=f(x)+h(x)=34•2x+3a2x+2．
由F（x）＞2+3a，化简得14•2x+a2x＞a，设t=2x，t∈（2，+∞）．
即t2-4at+4a＞0对任意t∈（2，+∞）恒成立．
注意到t-1＞1，分离参数得a＜t24(t-1)对任意t∈（2，+∞）恒成立．
设m(t)=t2t-1，t∈（2，+∞），即a＜14m(t)min，
而m(t)=t2t-1=(t-1)+1t-1+2．
可证m（t）在（2，+∞）上单调递增．
∴m（t）＞m（2）=4，
∴a≤14•4=1，即a∈（-∞，1]．
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解析
a2x-2考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=2x-a2x（a∈R）.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
