已知函数f=-2x+b2x+1+a的定义域为R，且f是奇函数，其中a与b是常数．求a与b的值；若x∈[-1，1]，对于任意的t∈R，不等

题文

已知函数f（x）=-2x+b2x+1+a的定义域为R，且f（x）是奇函数，其中a与b是常数．
（1）求a与b的值；
（2）若x∈[-1，1]，对于任意的t∈R，不等式f（x）＜2t²-λt+1恒成立，求实数λ的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）是R上的奇函数，∴f(0)=0f(-1)=-f(1)，
即-1+b2+a=0-12+b1+a=--2+b4+a，解得a=2b=1，此时f（x）=-2x+12x+1+2，经检验可得f（-x）=-f（x），
故a=2，b=1．
（2）f（x）=-2x+12x+1+2=-2x+12(2x+1)=-(2x+1)+22(2x+1)
=-12+12x+1，可知f（x）在R上是减函数，又x∈[-1，1]，∴f（x）的最大值为f（-1）=16．
∵对于任意的t∈R，不等式f（x）＜2t²-λt+1恒成立，
∴2t²-λt+1＞16，即2t²-λt+56＞0，则有△＜0，即λ2-4×2×56＜0，解得-2153＜λ＜2153．
所以实数λ的取值范围是{λ|-2153＜λ＜2153}．

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解析

f(0)=0f(-1)=-f(1)

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=-2x+b2x+1+a.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|