设函数f=kax-a-x是定义域为R的奇函数．若f＞0，试求不等式f+f＞0的解集；若f

题文

设函数f（x）=ka^x-a^-x（a＞0且a≠1）是定义域为R的奇函数．
（1）若f（1）＞0，试求不等式f（x²+2x）+f（x-4）＞0的解集；
（2）若f（1）=32，且g（x）=a^2x+a^-2x-2mf（x）在[1，+∞）上的最小值为-2，求m的值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）是定义域为R的奇函数，∴f（0）=0，可k-1=0，即k=1，
故f（x）=a^x-a^-x（a＞0，且a≠1）
∵f（1）＞0，∴a-1a＞0，又a＞0且a≠1，∴a＞1．
f′（x）=a^xlna+lnaax
∵a＞1，∴lna＞0，而a^x+1ax＞0，
∴f′（x）＞0，∴f（x）在R上单调递增
原不等式化为：f（x²+2x）＞f（4-x），
∴x²+2x＞4-x，即x²+3x-4＞0
∴x＞1或x＜-4，
∴不等式的解集为{x|x＞1或x＜-4}．
（2）∵f（1）=32，∴a-1a=32，即2a²-3a-2=0，∴a=2或a=-12（舍去）．
∴g（x）=2^2x+2^-2x-2m（2^x-2^-x）=（2^x-2^-x）²-2m（2^x-2^-x）+2．
令t=f（x）=2^x-2^-x，由（1）可知f（x）=2^x-2^-x为增函数
∵x≥1，∴t≥f（1）=32，
令h（t）=t²-2mt+2=（t-m）²+2-m² （t≥32）
若m≥32，当t=m时，h（t）_min=2-m²=-2，∴m=2
若m＜32，当t=32时，h（t）_min=174-3m=-2，
解得m=2512＞32，舍去
综上可知m=2．

点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习

解析

1a

考点

据考高分专家说，试题“设函数f（x）=kax-a-x（a＞0且.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|