已知f1=3|x-1|，f2=a•3|x-2|，．函数f定义为：对每个给定的实数x，f(x)=f1(x)f1(x)≤f2(x

题文

已知f₁（x）=3^|x-1|，f₂（x）=a•3^|x-2|，（x∈R，a＞0）．函数f（x）定义为：对每个给定的实数x，f(x)=f1(x)    f1(x)≤f2(x) f2(x)    f1(x)＞f2(x) 
（1）若f（x）=f₁（x）对所有实数x都成立，求a的取值范围；
（2）设t∈R，t＞0，且f（0）=f（t）．设函数f（x）在区间[0，t]上的单调递增区间的长度之和为d（闭区间[m，n]的长度定义为n-m），求dt；
（3）设g（x）=x²-2bx+3．当a=2时，若对任意m∈R，存在n∈[1，2]，使得f（m）≥g（n），求实数b的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）“f（x）=f₁（x）对所有实数都成立”等价于“f₁（x）≤f₂（x）恒成立”，即3^|x-1|≤a•3^|x-2|，即|x-1|-|x-2|≤log₃a恒成立，…（2分）（|x-1|-|x-2|）_max=1，所以log₃a≥1，a的取值范围是[3，+∞）．      …（4分）
（2）由（1）可知，当a∈[3，+∞）时，f（x）=f₁（x），f（0）=3，所以t=2，函数的对称轴为x=1，函数f（x）在[0，1]上单调递减；在[1，2]上单调递增，单调递增区间的长度和为d=1，dt=12．                                                        …（6分）
当f₂（x）≤f₁（x）恒成立时，即|x-1|-|x-2|≥log₃a恒成立，（|x-1|-|x-2|）_min=-1，所以log₃a≤-1．
当a∈(0，13]时，f（x）=f₂（x）=a•3^|x-2|，函数的对称轴为x=2，由f（0）=f（t），可得t=4．函数f（x）在[0，2]上单调递减；在[2，4]上单调递增，单调递增区间的长度和为d=2，dt=12．                                                      …（8分）
当a∈(13，3)时，解不等式3^|x-1|≤a•3^|x-2|，即解|x-1|-|x-2|≤log₃a，其中-1＜log₃a＜1，解得x≤32+12log3a，
所以 f(x)=3|x-1       x≤32+12log3a a•3|x-2    x＞32+12log3a  且1＜32+12log3a＜2，f（0）=3，而f（t）=a•3^t-2=3，t=3-log₃a，
函数f（x）在[1，32+12log3a]，[2，3-log₃a]上单调递增，单调递增区间的长度和为d=(3-log3a-2)+(32+12log3a-1)=32-12log3a，dt=12．           …（11分）
（3）当a=2时，f(x)=3|x-1       x≤32+12log32 2•3|x-2    x＞32+12log32  
即要f（x）_min≥g（x）_min，…（14分）f（x）_min=1．g（x）=（x-b）²+2，当x∈[1，2]时，g(x)min=4-2b，b＜13-b2 1≤b≤27-4b，b＞2
所以b的取值范围是[2，+∞)．                                        …（18分）

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解析

dt

考点

据考高分专家说，试题“已知f1（x）=3|x-1|，f2（x）.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|