已知函数f满足f=f+f对任意x、y∈R恒成立，在R上单调递减．求证：f是奇函数；若对一切x∈[π4，π2]，关于

题文

已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x）+f（y）对任意x、y∈R恒成立，在R上单调递减．
（1）求证：f（x）是奇函数；
（2）若对一切x∈[π4，π2]，关于x的不等式f[2sin2(π4+x)]-f(3cos2x)-f(m)＜0恒成立，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

.证明：（1）∵f（x+y）=f（x）+f（y）对任意x、y∈R恒成立
令x=y=0可得，f（0）=2f（0）
∴f（0）=0
令y=-x
∴f（0）=f（x）+f（-x）=0
∴f（-x）=-f（x）
∴函数f（x）是奇函数；（4分）
（2）∵函数f（x）是奇函数
由f[2sin2(π4+x)]-f(3cos2x)-f(m)＜0
得f[2sin2(π4+x)]＜f(3cos2x)+f(m)
即f[2sin2(π4+x)]＜f(3cos2x+m)（6分）
又∵f（x）是R上的减函数 2sin2(π4+x)＞3cos2x+m（8分）
即2sin2(π4+x)-3cos2x＞m对一切x∈[π4，π2]恒成立
2sin2(π4+x)-3cos2x=2sin(2x-π3)+1（10分）
当x∈[π4，π2]时，2x-π3∈[π6，2π3]，sin(2x-π3)∈[12，1]（12分）
2sin(2x-π3)+1的最小值为2，
∴m＜2（14分）

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解析

π4

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）满足f（x+y）=f（x.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|