设f是满足不等式log2x+log2≥2K-1，的自然数x的个数，求f的解析式；记Sn=f+f

题文

设f（k）是满足不等式log₂x+log₂（3•2^k-1-x）≥2K-1，（k∈N）的自然数x的个数，
（1）求f（x）的解析式；
（2）记S_n=f（1）+f（2）+…+f（n），求S_n解析式；
（3）记P_n=n-1，设T_n=log2(Sn-Pn)log2(Sn+1-Pn+1)-10.5，对任意n∈N均有T_n＜m成立，求出整数m的最小值． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）原不等式可转化为：x＞03•2k-1-x＞0x(3•2k-1-x)≥22k-1
即x＞0x＜3•2k-1x2-3•2k-1x+2k-1•2k≤0
∴2^k-1≤x≤2^k（4分）
∴f（k）=2^k-（2^k-1-1）=2^k-1+1．（6′）
（2）∵S_n=f（1）+f（2）+…+f（n）
=2⁰+2¹+…+2^n-1+n
=2ⁿ+n-1．（10′）
（3）∵Tn=log22nlog22n+1-10.5=nn-9.5=1+9.5n-9.5，（12′）
当1≤n≤9时，T_n单调递减，此时(Tn)max=T1=-217，（14′）
当n≥10时，T_n单调递减，此时（T_n）_max=T₁₀=20，
∴（T_n）_max=20，m_min=21．（16′）

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解析

x＞03•2k-1-x＞0x(3•2k-1-x)≥22k-1

考点

据考高分专家说，试题“设f（k）是满足不等式log2x+log.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|