题文
已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x≤0时，f(x)=3x9x+1-12，（1）判断并证明y=f（x）在（-∞，0）上的单调性；
（2）求y=f（x）的值域；
（3）求不等式f(x)＞13的解集． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）设x1＜x2＜0，则3x1＜3x2，3x1+x2＜1∵f(x1)-f(x2)=3x19x1+1-3x29x2+1=3x1+2x2+3x1-32x1+x2-3x2(9x1+1)(9x2+1)=(3x1-3x2)(1-3x1+x2)(9x1+1)(9x2+1)＜0，
∴f（x1）＜f（x2），即y=f（x）在（-∞，0）上是增函数．
（2）∵0＜3x9x+1=13x+13x≤12，
∴当x≤0时，f(x)=3x9x+1-12∈(-12，0]；
∵当x＞0时，f(x)=12-3x9x+1∈(0，12)．
综上得 y=f（x）的值域为 (-12，12)．
（3）∵f(x)∈(-12，12)，
又∵f(x)＞13，∴f(x)∈(13，12)，此时f(x)=12-3x9x+1单调递增，
∵f(1)=15＜13，∴f(x)∈(13，12)时，x＞1⇒3x＞3．
令12-3x9x+1＞13，
即3x9x+1＜16⇒32x-6•3x+1＞0⇒3x＞3+22⇒x＞log3(3+22)，
∴不等式f(x)＞13的解集是(log3(3+22)，+∞)．
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解析
3x19x1+1考点
据考高分专家说，试题“已知函数y=f（x）是R上的奇函数，当x.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
