题文
（理）设f（x）是定义在D上的函数，若对任何实数α∈（0，1）以及x1、x2∈D恒有f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）成立，则称f（x）为定义在D上的下凸函数．（1）试判断函数g（x）=2x（x∈R），k(x)=1x (x＜0)是否为各自定义域上的下凸函数，并说明理由；
（2）若h（x）=px2（x∈R）是下凸函数，求实数p的取值范围；
（3）已知f（x）是R上的下凸函数，m是给定的正整数，设f（0）=0，f（m）=2m，记Sf=f（1）+f（2）+f（3）+…+f（m），对于满足条件的任意函数f（x），试求Sf的最大值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）g（x）=2x是下凸函数，证明如下：对任意实数x1，x2及α∈（0，1），
有g（αx1+（1-α）x2）-αg（x1）-（1-α）g（x2）=2（αx1+（1-α）x2）-2αx1-2（1-α）x2=0．
即g（αx1+（1-α）x2）≤αg（x1）+（1-α）g（x2）．
∴g（x）=2x是C函数．
k(x)=1x(x＜0)不是下凸函数，证明如下：
取x1=-3，x2=-1，α=12，
则k（αx1+（1-α）x2）-αk（x1）-（1-α）k（x2）=k(-2)-12k(-3)-12k(-1)=-12+16+12＞0．
即k（αx1+（1-α）x2）＞αk（x1）+（1-α）k（x2）．
∴k(x)=1x(x＜0)不是下凸函数．
（2）h（x）=px2是下凸函数，则对任意实数x1，x2及α∈（0，1），
有h（αx1+（1-α）x2）-αh（x1）-（1-α）h（x2）=p（αx1+（1-α）x2）2-pαx12-p（1-α）x22=p[-α（1-α）x12-α（1-α）x22+2α（1-α）x1x2]=-pα（1-α）（x1-x2）2≤0．
即当p≥0时，h（αx1+（1-α）x2）≤αh（x1）+（1-α）h（x2）．
∴当p≥0时，h（x）=px2是下凸函数．
（3）对任意0≤n≤m，取x1=m，x2=0，α=nm∈[0，1]．
∵f（x）是R上的下凸函数，an=f（n），且a0=0，am=2m
∴an=f（n）=f（αx1+（1-α）x2）≤αf（x1）+（1-α）f（x2）=nm×2m=2n．
那么Sf=a1+a2+…+am≤2×（1+2+…+m）=m2+m．
可证f（x）=2x是C函数，且使得an=2n（n=0，1，2，…，m）都成立，此时Sf=m2+m．
综上所述，Sf的最大值为m2+m．
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解析
1x考点
据考高分专家说，试题“（理）设f（x）是定义在D上的函数，若对.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
