已知函数f(x)=lnx-14x+34x-1，g(x)=x2-2mx+4求函数f的单调区间；若对任意x1∈，总存在x2∈[1，2]使

题文

已知函数f(x)=lnx-14x+34x-1，g(x)=x2-2mx+4
（I）求函数f（x）的单调区间；
（Ⅱ）若对任意x₁∈（0，2），总存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≥g（x₂），求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）函数的定义域为（0，+∞），
f′(x)=1x-14-34x2=-x2+4x-34x2=-(x-1)(x-3)4x2，
由f′（x）＞0得，1＜x＜3，
由f′（x）＜0得，0＜x＜1或x＞3，
∴函数f（x）的单调递增区间为（1，3）；单调递减区间为（0，1），（3，+∞）；
（Ⅱ） 由（Ⅰ）知函数f（x）在区间（0，1）上递减，在区间（1，2）上递增，
∴函数f（x）在区间（0，2）上的最小值为f（1）=-12，
由于“对任意x₁∈（0，2），总存在x₂∈[1，2]使f（x₁）≥g（x₂）”等价于“g（x）在区间[1，2]上的最小值不大于f（x）在区间（0，2）上的最小值-12”
即g（x）_min≤-12，（*）
又g（x）=x²-2mx+4，x∈[1，2]，
∴①当m＜1时，g（x）_min=g（1）=5-2m＞0与（*）式矛盾，
②当m∈[1，2]时，g（x）_min=4-m²≥0，与（*）式矛盾，
③当m＞2时，g（x）_min=g（2）=8-4m≤-12，
解得m≥178，
综上知，实数m的取值范围是[178，+∞）．

点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习

解析

1x

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=lnx-14x+34x.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|