设函数f(x)=-13x3+ax2-2ax-2，且f在[1，2]上单调递减．求实数a的取值范围；当a取得最大值时，关于x的方程f（

题文

设函数f(x)=-13x3+ax2-2ax-2（a为常数），且f（x）在[1，2]上单调递减．
（1）求实数a的取值范围；
（2）当a取得最大值时，关于x的方程f（x）=x²-7x-m有3个不同的根，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）依题意得：f'（x）=-x²+2ax-2a∵f（x）在[1，2]上单调递减
∴f'（x）=-x²+2ax-2a≤0在[1，2]恒成立
即：当x=1时，a∈R当x≠1时，2a≤x2x-1在（1，2]恒成立
记g(x)=x2x-1=x-1+1x-1+2则g_min（x）=4
∴只须a≤2
综上，a≤2
（2）当a=2时，方程f（x）=x²-7x-m有3个不同根等价于x33-x2-3x+2-m=0有3个不同根
记g(x)=x33-x2-3x+2-m则g'（x）=x²-2x-3
令g'（x）＞0得x＜-1或x＞3令g'（x）＜0得-1＜x＜3
∴g（x）在（-∞，-1），（3，+∞）递增，在（-1，3）递减
∴g_极小（x）=g（3）=-7-mg极大(x)=g(-1)=113-m
要使x33-x2-3x+2-m=0有3个不同根
只须g极小(x)=g(3)=-7-m＜0g极大(x)=g(-1)=113-m＞0
得-7＜m＜113

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解析

x2x-1

考点

据考高分专家说，试题“设函数f(x)=-13x3+ax2-2a.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|