题文
设函数f（x）=ex+sinx，g（x）=ax，F（x）=f（x）-g（x）．（1）若x=0是F（x）的极值点，求a的值；
（2）当a=13时，若存在x1、x2∈[0，+∞）使得f（x1）=g（x2），求x2-x1的最小值；
（3）若x∈[0，+∞）时，F（x）≥F（-x）恒成立，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵F（X）=f（x）-g（x）=ex+sinx-ax．∴F′（x）=ex+cosx-a．
因为x-=0是F（x）的极值点，
所以F′（0）=e0+cos0-a=0，所以a=2．
当x＜0时，F′（x）=ex+cosx-a＜1+1-2=0；
当x≥0时，则φ（x）=ex+cosx-a，φ′（x）=ex-sinx≥1-1=0；
所以函数Fx）在[0，+∞）上递增，从而F′（x）≥F′（0）=1+1-a=2-2=0．
于是x=0是函数F（x）的极小值点．
∴a=2符合题意．
（2）因为a=13，由f（x1）=g（x2）得x2=3（ex+sinx1），
∴x2-x1=3（（ex+sinx1-13x1），所以求x2-x1的最小值即求a=13时函数3F（x）在[0，+∞）上的最小值，
由（1）得F′（x）=ex+cosx-a在[0，+∞）上递增，
从而F′（x）≥F′（0）=1+1-a=2-13＞0，
所以F（x）在[0，+∞）上递增，所以3F（x）≥3F（0）≥3．
∴x2-x1得最小值为3．
（3）令h（x）=F（x）-F（-x）=ex-e-x+2sinx-2ax，
则h′（x）=ex+e-x+2cosx-2a．
令t（x）=h′（x），t′（x）=ex-e-x-2sinx，
令s（x）=t′（x），s′（x）=ex+e-x-2cosx．
∵s′（x）=ex+e-x-2cosx≥2-2=0，
∴t′（x）在[0，+∞）递增，从而t′（x）≥t′（0）=0，
∴h′（x）在[0，+∞）递增，从而h′（x）≥h′（0）=4-2a．
当a≤2时，h′（x）≥0，∴h（x）在[0，+∞）递增，即h（x）≥h（0）=0
∴当a≤2时，F（x）-F（-x）≥0对x∈[0，+∞）时恒成立；
当a＞2时，h′（x）＜0，
又∵h′（x）在[0，+∞）递增，
所以总存在x0∈（0，+∞）使得在区间[0，x0）上h′（x）＜0，
导致h（x）在[0，x0）上递减，而h（0）=0，
∴当x∈（0，x0）时，h（x）＜0
这与F（x）-F（-x）≥0对x∈[0，+∞）时恒成立不符，
所以a＞2不合题意．
综上：a的取值范围：（-∞，2]
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解析
13考点
据考高分专家说，试题“设函数f（x）=ex+sinx，g（x）.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
