如果f在某个区间I内满足：对任意的x1，x2∈I，都有12[f(x1)+f(x2)]≥f(x1+x22)，则称f在I上为下凸函数；已知函数f(x)=

题文

如果f（x）在某个区间I内满足：对任意的x₁，x₂∈I，都有12[f(x1)+f(x2)]≥f(x1+x22)，则称f（x）在I上为下凸函数；已知函数f(x)=1x-alnx．
（Ⅰ）证明：当a＞0时，f（x）在（0，+∞）上为下凸函数；
（Ⅱ）若f'（x）为f（x）的导函数，且x∈[12，2]时，|f'（x）|＜1，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）任取x₁，x₂∈（0，+∞），则12[f(x1)+f(x2)]=12[1x1-alnx1+1x2-alnx2]=x1+x22x1x2-alnx1x2，…（2分）
f(x1+x22)=2x1+x2-alnx1+x22，…（3分）
∵x₁²+x₂²≥2x₁x₂，∴（x₁+x₂）²≥4x₁x₂，
又x1＞0，x2＞0，x1+x22x1x2≥2x1+x2，…（5分）
又x1+x22≥x1x2，a＞0，
∴-alnx1x2≥alnx1+x22，
即12[f(x1)+f(x2)]≥f(x1+x22)．
∴f（x）为（0，+∞）上的下凸函数…（7分）
答：f（x）为（0，+∞）上的下凸函数
（Ⅱ）先对所给的函数求导得到f′(x)=-1x2-ax，…（9分）
∵|f′(x)|＜1，即|1x2+ax|＜1，
∴-(x+1x)＜a＜x-1x，…（11分）
∵x∈[12，2]时，|f′(x)|＜1恒成立，
设g(x)=-(x+1x)，h(x)=x-1x
则有g_max（x）＜a＜h_min（x），
又g(x)=-(x+1x)在[12，1]上为增函数，在[1，2]上为减函数
∴g_max（x）=g（1）=-2…（12分），
而h(x)=x-1x在[12，2]上为增函数，
∴hmin(x)=h(12)=-32…（13分）
∴a∈(-2，-32)…（14分）
答：实数a的取值范围是（-2，-32）

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“如果f（x）在某个区间I内满足：对任意的.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|