已知函数f=lnx，．当a=0时，若直线y=2x+m与函数y=f的图象相切，求m的值；若f在[1，2]上是单调

题文

已知函数f（x）=（x-a）lnx，（a≥0）．
（1）当a=0时，若直线y=2x+m与函数y=f（x）的图象相切，求m的值；
（2）若f（x）在[1，2]上是单调减函数，求a的最小值；
（3）当x∈[1，2e]时，|f（x）|≤e恒成立，求实数a的取值范围．（e为自然对数的底）． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）当a=0时，f（x）=xlnx，∴f′（x）=lnx+1
∵直线y=2x+m与函数y=f（x）的图象相切，∴lnx+1=2，∴x=e
∵f（e）=e，∴切点为（e，e），∴m=-e；
（2）f′(x)=lnx+1-ax
∵f（x）在[1，2]上是单调减函数，
∴f′(x)=lnx+1-ax≤0在[1，2]上恒成立
∴a≥xlnx+x在[1，2]上恒成立
令g（x）=xlnx+x，则g′（x）=lnx+2＞0
∴g（x）=xlnx+x在[1，2]上单调递增
∴a≥≥g（2）=2ln2+2
∴a的最小值为2ln2+2；
（3）|f（x）|≤e等价于-e≤（x-a）lnx≤e
∴-elnx≤x-a≤elnx
∴x-elnx≤a≤x+elnx
设h（x）=x+elnx，t（x）=x-elnx，则t（x）_max≤a≤h（x）_min，
由h′(x)=xln2x-exln2x，∵h′（e）=0
令s（x）=xln²x-e，x∈[1，2e]，则s′（x）=ln²x+lnx＞0
∴h（x）在[1，2e]上单调递增，∴h（x）_min=h（e）=2e，
∵t′（x）=1+exln2x＞0，∴t（x）在[1，2e]上单调递增，
∴t（x）_max=t（2e）=2e-eln2e
综上，2e-eln2e≤a≤2e．

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解析

ax

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=（x-a）lnx，（a.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|