题文
已知数列an满足a1=1，an+1=an+n（n∈N*），数列bn满足b1=1，（n+2）bn+1=nbn（n∈N*），数列cn满足c1=1，c11+c222+…+cnn2=cn+1n+1（n∈N*）（1）求数列an、bn的通项公式；
（2）求数列cn的通项公式；
（3）是否存在正整数k使得k(an+72)-3bn+1＞cn+6n+15对一切n∈N*恒成立，若存在求k的最小值；若不存在请说明理由． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）∵a1=1，an+1=an+n（n∈N*）∴n≥2，an=（an-an-1）+（an-1-an-2）+…+（a2-a1）+a1=(n-1)+(n-2)+…+1+1=n(n-1)2+1=12n2-12n+1
∴an=12n2-12n+1（n∈N*），（n+2）bn+1=nbn（n∈N*）
∴bn+1bn=nn+2，
∴n≥2，bn=bnbn-1•bn-1bn-2…b2b1•b1=n-1n+1•n-2n…13•1=2n(n+1)，
∴bn=2n(n+1)（n∈N*）
（2）c1=1，c11+c222+…+cnn2=cn+1n+1
∴c11+c222+…+cn-1(n-1)2=cnn（n≥2）（n∈N*）
两式相减得：cnn2=cn+1n+1-cnn
∴cn+1cn=(n+1)2n2，n=1，c11=c22得出c2=2，n≥2
∴cn=cncn-1•cn-1cn-2…c3c2•c2=n2(n-1)2•(n-1)2(n-2)2…3222•2=n22
cn=1，n=1n22，n≥2，n∈N*．
（3）当n=1时，k(a1+72)-3•1b2＞c1+6+15
∴k＞629且k∈N*k≥7且k∈N*
当n≥2时，k(an+72)-3bn+1＞cn+6n+15，即k(n22-n2+92)-32(n+2)(n+1)＞n22+6n+15
k（n2-n+9）＞4n2+21n+36
∵n2-n+9＞0恒成立，
∴k＞4n2+21n+36n2-n+9
事实上：4n2+21n+36n2-n+9=4+25n+9n-1n+9n≥6（n=3取等号）
∴(4n2+21n+36n2-n+9)max=9∴k＞9且k∈N*．
综上：k≥10，k∈N*故k的最小值为10．
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解析
n(n-1)2考点
据考高分专家说，试题“已知数列an满足a1=1，an+1=an.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
