题文
下列命题：①若区间D内任意实数x都有f（x+1）＞f（x），则y=f（x）在D上是增函数；②y=-1x在定义域内是增函数；③函数f(x)=1-x2|x+1|-1图象关于原点对称；④如果关于实数x的方程ax2+1x=3x的所有解中，正数解仅有一个，那么实数a的取值范围是a≤0； 其中正确的序号是______． 题型：未知 难度：其他题型答案
①若区间D内任意实数x都有f（x+1）＞f（x），但不一定满足增函数的定义，则y=f（x）在D上是增函数错误；②y=-1x在（-∞，0）和（0，+∞）上均为增函数，但在其定义域内不是增函数，故②错误；
③∵函数f(x)=1-x2|x+1|-1为奇函数，∴函数f(x)=1-x2|x+1|-1的图象关于原点对称，故③正确；
④将方程ax2+1x=3x改写为1x=3x-ax2，令 y1=1x，y2=3x-ax2．
“关于实数x的方ax2+1x=3x的所有解中，仅有一个正数解”等价于“双曲线y1=1x与y2=3x-ax2的图象在y轴右侧只有一个交点”．
双曲线y1=1x在第一、三象限内．
当a＞0时，抛物线y2=3x-ax2的开口向下且过原点（0，0）及x轴正半轴上的点 （3a，0），研究知，当a＜2时，双曲线y1=1x与抛物线y2=3x-ax2在第一象限内有两个交点，当a＞2时，两曲线在第一象限无交点，当a=2进，两曲线仅有一个交点，故a=2符合题意．
当a=0时，y2=3x-ax2为直线，此时，双曲线y1=1x与直线y2=3x在第一象限内只有一个交点，故a=0符合题意．
当a＜0时，抛物线y2=3x-ax2的开口向上且过原点（0，0）及x轴负半轴上的点 （3a，0），此时，双曲线 y1=1x与抛物线y2=3x-ax2在第一象限内仅有一个交点，故a＜0符合题意．
综上所述，实数a的取值范围为（-∞，0]∪{2}．，故④错误；
故答案为：③
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解析
1x考点
据考高分专家说，试题“下列命题：①若区间D内任意实数x都有f（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
