题文
已知f（x）对于任意实数x，y满足f（x+y）=f（x）+f（y），当x＞0时，f（x）＞0．（Ⅰ）求f（0）并判断f（x）的奇偶性；
（Ⅱ）判断f（x）的单调性，并用定义加以证明；
（Ⅲ）已知f（3）=12，集合A={（x，y）|f（x2）+f（y2）=4}，集合B={ (x，y) | x+ay=5 }，若A∩B≠∅，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（I）∵f（x+y）=f（x）+f（y）∴令x=y=0 有f （0 ）=0
再令y=-x 可得f（0）=f（x+（-x））=f（x）+f（-x）
即f（x）+f（-x）=0，得f（-x）=-f（x）
∴f （ x ）是定义在R上的奇函数．
（II）任取x1＜x2，则x2-x1＞0，故 f（x2-x1）＞0
又∵f（x2-x1）=f（x2）+f（-x1）=f（x2）-f（x1）＞0
∴函数满足f（x2）＞f（x1），即f（x1）＜f（x2）
∴函数f（x）为（-∞，+∞）单调增函数
（III）∵f（3）=12，∴f（1+1+1）=3f（1）=12，可得f（1）=4
∵A={（x，y）|f（x2）+f（y2）=4}，集合B={ (x，y) | x+ay=5 }，若A∩B≠∅，
∴集合A表示的图形是单位圆：x2+y2=1，点P（x，y）在单位圆x2+y2=1上，
且单位圆x2+y2=1与直线x+ay=5有至少一个公共点
∴|5|1+a2≤1，解之得a≤-2或a≥2．
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解析
5考点
据考高分专家说，试题“已知f（x）对于任意实数x，y满足f（x.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
