已知函数f=ax2+x+aex．函数f在点）处的切线与直线2x+y-1=0平行，求a的值；当x∈[0，2]时，f≥1

题文

已知函数f（x）=ax2+x+aex．
（Ⅰ）函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线2x+y-1=0平行，求a的值；
（Ⅱ）当x∈[0，2]时，f（x）≥1e2恒成立，求a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（Ⅰ）由题意可得f′（x）=(2ax+1)ex-(ax2+x+a)ex(ex)2=-ax2+(2a-1)x+1-aex …（2分）
故可得f′（0）=1-a，因为函数f（x）在点（0，f（0））处的切线与直线2x+y-1=0平行，
而直线的斜率为-2，所以1-a=-2，解得a=3                         …（5分）
（Ⅱ）由（Ⅰ）知f′（x）=-ax2+(2a-1)x+1-aex=-(ax+1-a)(x-1)ex，令f′（x）=0，
当a=0时，x=1，在（0，1）上，有f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
在（1，2）上，有f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，f（0）=0，f（2）=2e2，
故函数f（x）的最小值为0，结论不成立．…（6分）
当a≠0时，x₁=1，x₂=1-1a                               …（7分）
若a＜0，f（0）=a＜0，结论不成立                     …（9分）
若0＜a≤1，则≤0，在（0，1）上，有f′（x）＞0，函数f（x）单调递增；
在（1，2）上，有f′（x）＜0，函数f（x）单调递减，
只需f(0)≥1e2f(2)≥1e2，解得a≥1e2a≥-15，所以1e2≤a≤1            …（11分）
若a＞1，则0＜1-1a＜1，函数在x=1-1a处有极小值，只需f(1-1a)≥1e2f(2)≥1e2
解得2a-1≥e-1-1aa≥-15，因为2a-1＞1，e-1-1a＜1，所以a＞1   …13
综上所述，a≥1e2  …（14分）

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解析

(2ax+1)ex-(ax2+x+a)ex(ex)2

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f（x）=ax2+x+aex．（.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|