若定义在D上的函数y=f满足条件：存在实数a，b且[a，b]⊊D，使得：①任取x0∈[a，b]，有f=C；②对于D内任意y0

题文

若定义在D上的函数y=f（x）满足条件：存在实数a，b（a＜b）且[a，b]⊊D，使得：
①任取x₀∈[a，b]，有f（x₀）=C（C是常数）；
②对于D内任意y₀，当y₀∉[a，b]，总有f（y₀）＜C．
我们将满足上述两条件的函数f（x）称为“平顶型”函数，称C为“平顶高度”，称b-a为“平顶宽度”．根据上述定义，解决下列问题：
（1）函数f（x）=-|x+2|-|x-3|是否为“平顶型”函数？若是，求出“平顶高度”和“平顶宽度”；若不是，简要说明理由．
（2）已知f(x)=mx-x2+2x+n，x∈[-2，+∞)是“平顶型”函数，求出m，n的值．
（3）对于（2）中的函数f（x），若f（x）=kx在x∈[-2，+∞）上有两个不相等的根，求实数k的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）f(x)=2x-1，x＜-2-5，-2≤x≤31-2x，x＞3，------2′
则存在区间[-2，3]使x∈[-2，3]时f（x）=-5
且当x＜-2和x＞3时，f（x）＜-5恒成立．                   2′
所以函数f（x）是“平顶型”函数，平顶高度为-5，平顶宽度为5．---2′
（2）存在区间[a，b]⊊[-2，+∞），使得mx-x2+2x+n=c恒成立----1′
则x²+2x+n=（mx-c）²恒成立，则m2=12mc=2c2=n⇒m=1n=1或m=-1n=1----3′
当m=n=1时，f(x)=2x+1，-2≤x＜-1-1，x≥-1不是“平顶型”函数．
当m=-1，n=1时，f(x)=1，-2≤x＜-1-2x-1，x≥-1是“平顶型”函数∴m=-1，n=1
（3）x≥-1时，-2x-1=kx，则-1k+2≥-1，得k＜-2或k≥-1------2′
-2≤x＜-1时，1=kx，则-2≤1k＜-1，得-1＜k≤-12--2′所以-1＜k≤-12．1′

点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习

解析

2x-1，x＜-2-5，-2≤x≤31-2x，x＞3

考点

据考高分专家说，试题“若定义在D上的函数y=f（x）满足条件：.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|