题文
已知函数f(x)=loga2m-1-mxx+1(a＞0，a≠1)是奇函数，定义域为区间D（使表达式有意义的实数x 的集合）．（1）求实数m的值，并写出区间D；
（2）若底数a满足0＜a＜1，试判断函数y=f（x）在定义域D内的单调性，并说明理由；
（3）当x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）时，函数值组成的集合为[1，+∞），求实数a、b的值． 题型：未知 难度：其他题型
答案
解（1）∵y=f（x）是奇函数，∴对任意x∈D，有f（x）+f（-x）=0，即loga2m-1-mx1+x+loga2m-1+mx1-x=0．
化简此式，得（m2-1）x2-（2m-1）2+1=0．又此方程有无穷多解（D是区间），
必有m2-1=0(2m-1)2-1=0，解得m=1．
∴f(x)=loga1-x1+x，D=(-1，1)．
（2）当0＜a＜1时，函数f(x)=loga1-x1+x在D=(-1，1)上是单调增函数．
理由：令t=1-x1+x=-1+21+x．
易知1+x在D=（-1，1）上是随x增大而增大，21+x在D=（-1，1）上是随x增大而减小，
故t=1-x1+x=-1+21+x在D=（-1，1）上是随x增大而减小
于是，当0＜a＜1时，函数f(x)=loga1-x1+x在D=(-1，1)上是单调增函数．
（3）∵x∈A=[a，b）（A⊆D，a是底数）
∴0＜a＜1，a＜b≤1．
∴由（2）知，函数f(x)=loga1-x1+x在A上是增函数，即f(a)=1，loga1-a1+a=1，
解得a=2-1(舍去a=-2-1)．
若b＜1，则f（x）在A上的函数值组成的集合为[1，loga1-b1+b)，不满足函数值组成的集合是[1，+∞）的要求，
∴必有b=1．
因此，所求实数a、b的值是a=2-1、b=1．
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解析
2m-1-mx1+x考点
据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=loga2m-1-mx.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
