题文
已知向量a=(x2-3，1)，b=(x，-y)，（其中实数y和x不同时为零），当|x|＜2时，有a⊥b，当|x|≥2时，a∥b．（1）求函数式y=f（x）；
（2）求函数f（x）的单调递减区间；
（3）若对∀x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx2+x-3m≥0，求实数m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）当|x|＜2时，由a⊥b得a•b=(x2-3)x-y=0，y=x3-3x；（|x|＜2且x≠0）当|x|≥2时，由a∥b．得y=-xx2-3
∴y=f(x)=x3-3x，(-2＜x＜2且x≠0)x3-x2．(x≥2或x≤-2)
（2）当|x|＜2且x≠0时，由y'=3x2-3＜0，
解得x∈（-1，0）∪（0，1），
当|x|≥2时，y′=(3-x2)-x(-2x)(3-x2)2=3+x2(3-x2)2＞0
∴函数f（x）的单调减区间为（-1，1）；
（3）对∀x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），都有mx2+x-3m≥0即m（x2-3）≥-x，
也就是m≥x3-x2对∀x∈（-∞，-2]∪[2，+∞）恒成立，
由（2）知当|x|≥2时，f′(x)=(3-x2)-x(-2x)(3-x2)2=3+x2(3-x2)2＞0
∴函数f（x）在（-∞，-2]和[2，+∞）都单调递增
又f(-2)=-23-4=2，f(2)=23-4=-2
当x≤-2时f(x)=x3-x2＞0，
∴当x∈（-∞，-2]时，0＜f（x）≤2同理可得，当x≥2时，有-2≤f（x）＜0，
综上所述得，对x∈（-∞，-2]∪[2，+∞），f（x）取得最大值2；
∴实数m的取值范围为m≥2．
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解析
a考点
据考高分专家说，试题“已知向量a=(x2-3，1)，b=(x，.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
