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已知f是定义在R上的函数,f=1,且∀x1,x2∈R,总有f=f+f+1恒成立.求证:f+1是奇函数;(Ⅱ

题文

已知f(x)是定义在R上的函数,f(1)=1,且∀x1,x2∈R,总有f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1恒成立.
(Ⅰ)求证:f(x)+1是奇函数;
(Ⅱ)对∀n∈N*,有an=1f(n),bn=f(12n+1)+1,求:Sn=a1a2+a2a3+…+anan+1及Tn=b1a1+b2a2+…+bnan;
(Ⅲ)求F(n)=an+1+an+2+…+a2n(n≥2,n∈N)的最小值. 题型:未知 难度:其他题型

答案

(1)证明:f(x1+x2)=f(x1)+f(x2)+1,
令x1=x2=0得f(0)=-1,再令x1=x,x2=-x,得f(0)=f(x)+f(-x)+1
∴f(-x)+1=-[f(x)+1],
函数f(x)+1是奇函数.
(2)令x1=n,x2=1得f(n+1)=f(n)+2,所以f(n)=2n-1,an=12n-1,bn=2×12n+1-1+1=12n,
∴anan+1=1(2n-1)(2n+1)=12(12n-1-12n+1)
Sn=12(1-12n+1)=n2n+1
又bnan=(2n-1)12n,
Tn=1×12+3×122+…+(2n-1)12n①
12Tn=1×122+3×123+…+(2n-1)12n+1②
由①-②得出
12Tn=12+(12+122+… +12n-1)-(2n-1)12n+1
=12+(1-12n-1)-(2n-1)12n+1
计算整理得出得
Tn=3-2n+32n
(3)∵F(n+1)-F(n)=a2n+1+a2n+2-an+1=1(4n+1)(4n+3)(2n+1)>0
∴F(n+1)>F(n).又n≥2,
∴F(n)的最小值为F(2)=a3+a4=1235

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解析

12n-1

考点

据考高分专家说,试题“已知f(x)是定义在R上的函数,f(1).....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义:

偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数。
奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数。 
 
函数的周期性

(1)定义:若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使f(x+T)=f(x)恒成立,则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
(2)若T是周期,则k·T(k≠0,k∈Z)也是周期,所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期,如常函数f(x)=C。

奇函数与偶函数性质:

(1)奇函数与偶函数的图像的对称性:奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。
(3)在公共定义域内,①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积是偶函数; ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数。

注:定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称;定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.

2、函数的周期性    令a , b 均不为零,若: 
(1)函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
(2)函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
(3)函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
(4)函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
已知f是定义在R上的函数,f=1,且∀x1,x2∈R,总有f=f+f+1恒成立.求证:f+1是奇函数;(Ⅱ
  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
(5)函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
已知f是定义在R上的函数,f=1,且∀x1,x2∈R,总有f=f+f+1恒成立.求证:f+1是奇函数;(Ⅱ
  ==> 函数最小正周期 T=|4a|

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