已知实数a≠0，函数f=ax2．若函数f有极大值32，求实数a的值；若对∀x∈[-2，1]，不等式f(x)＜169恒

题文

已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-2）²（x∈R）．
（1）若函数f（x）有极大值32，求实数a的值；
（2）若对∀x∈[-2，1]，不等式f(x)＜169恒成立，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

（1）∵f（x）=ax（x-2）²=ax³-4ax²+4ax，
∴f′(x)=3ax2-8ax+4a=3a(x-23)(x-2)．
令f′（x）=0，解得3a(x-23)(x-2)=0，
∴x=23或x=2．
∵f（x）=ax（x-2）²（x∈R）有极大值32，又f（2）=0．
∴f（x）在x=23时取得极大值，
∴f(23)=3227a=32，a=27．
（2）由f′(x)=3a(x-23)(x-2)知：
当a＞0时，函数f（x）在[-2，23]上是增函数，在[23，1]上是减函数．
此时，ymax=f(23)=3227a．
又对∀x∈[-2，1]，不等式f(x)＜169恒成立．
∴3227a＜169得a＜32，
∴0＜a＜32．
当a＜0时，函数f（x）在[-2，23]上是减函数，在[23，1]上是增函数．
又f（-2）=-32a，f（1）=a，
此时，y_max=f（-2）=-32a．
又对∀x∈[-2，1]，不等式f(x)＜169恒成立．
∴-32a＜169得a＞-118，
∴-118＜a＜0．
故所求实数的取值范围是(-118，0)∪(0，32)．

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解析

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考点

据考高分专家说，试题“已知实数a≠0，函数f（x）=ax（x-.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|