题文
已知曲线C:f(x)=x2,C上的点A0,An的横坐标分别为1和an(n∈N*),且a1=5,数列{xn}满足xn+1=t•f(xn-1)+1(t>0且t≠12,t≠1),设区间Dn=[1,an](an>1),当x∈Dn时,曲线C上存在点Pn(xn,f(xn)),使得点Pn处的切线与直线A0An平行.(1)证明:{logt(xn-1)+1}是等比数列;
(2)当Dn+1⊊Dn对一切n∈N*恒成立时,求t的取值范围;
(3)记数列{an}的前n项和为Sn,当t=14时,试比较Sn与n+7的大小,并证明你的结论. 题型:未知 难度:其他题型
答案
(1)∵由线在点Pn的切线与直线AAn平行,∴2xn=an2-1an-1,即xn=an+12,
由xn+1=tf(xn+1-1)+1,得xn+1-1=t(xn-1)2,
∴logt(xn+1-1)=1+2logt(xn-1),
即logt(xn+1-1)+1=2[logt(xn-1)+1],
∴{logt(xn-1)+1}是首项为logt2+1,公比为2的等比数列.
(2)由(1)得logt(xn-1)+1=(logt2+1)•2n-1,
∴xn=1+1t(2t)2n-1.
从而an=2xn-1=1+2t(2t)2n-1,
由Dn+1⊊Dn对一切n∈N*恒成立,
得an+1<an,
即(2t)2n<(2t)2n-1,
∴0<2t<1,
即0<t<12.
(3)当t=14时,an=1+8×(12)2n-1,
∴Sn=n+8[12+(12)2+(12)4+…+(12)2n-1],
当n≤3时,2n-1≤n+1;
当n≥4时,2n-1>n+1,
∴当n≤3时,Sn≤n+8[12+(12)2+(12)4]=n+132<n+7.
当n≥4时,Sn<n+8[12+(12)2+(12)3+(12)4+…+(12)n+1]
=n+7-(12)n-2
<n+7.
综上所述,对任意的n∈N*,都有Sn<n+7.
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解析
an2-1an-1考点
据考高分专家说,试题“已知曲线C:f(x)=x2,C上的点A0.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义:
偶函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=f(x),则称函数f(x)为偶函数。
奇函数:一般地,如果对于函数f(x)的定义域内任意一个x,都有f(-x)=-f(x),那么函数f(x)是奇函数。
函数的周期性:
(1)定义:若T为非零常数,对于定义域内的任一x,使f(x+T)=f(x)恒成立,则f(x)叫做周期函数,T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
(2)若T是周期,则k·T(k≠0,k∈Z)也是周期,所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期,如常函数f(x)=C。
奇函数与偶函数性质:
(1)奇函数与偶函数的图像的对称性:奇函数的图像关于原点对称,偶函数的图像关于y轴对称。
(3)在公共定义域内,①两个奇函数的和是奇函数,两个奇函数的积是偶函数; ②两个偶函数的和、积是偶函数; ③一个奇函数,一个偶函数的积是奇函数。
注:定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称;定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件.
2、函数的周期性 令a , b 均不为零,若:
(1)函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
(2)函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
(3)函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
(4)函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
(5)函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|4a|