已知函数f(x)=(a-12)x2+Inx(a∈R)当a=0时，求函数f的单调递增区间；若∃x∈[1，3]，使f＜Inx成立，

题文

已知函数f(x)=(a-12)x2+Inx(a∈R)
（1）当a=0时，求函数f（x）的单调递增区间；
（2）若∃x∈[1，3]，使f（x）＜（x+1）Inx成立，求实数a的取值范围；
（3）若函数f（x）的图象在区间（1，+∞）内恒在直线y=2ax下方，求实数a的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型

答案

显然函数f（x）的定义域为（0，+∞），
（1）当a=0时，f(x)=-12x2+lnx，f′(x)=-x+1x=-x2+1x；
由f'（x）＞0，结合定义域解得0＜x＜1，
∴f（x）的单调递增区间为（0，1）．
（2）将f（x）＜（x+1）lnx化简得(a-12)x2＜xlnx，∵x∈[1，3]∴有a＜lnxx+12
令g(x)=lnxx+12，则g/(x)=1-lnxx2，由g′（x）=0解得x=e．
当1≤x＜e时，g′（x）＞0；当e＜x≤3时，g′（x）＜0
故g(x)max=g(e)=1e+12
∴∃x∈[1，3]，使f（x）＜（x+1）lnx成立等价于a＜g(x)max=g(e)=1e+12
即a的取值范围为(-∞，1e+12)
（3）令g(x)=f(x)-2ax=(a-12)x2-2ax+lnx，则g（x）的定义域为（0，+∞）．
在区间（1，+∞）上，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方等价于g（x）＜0在区间（1，+∞）上恒成立．
∵g′(x)=(2a-1)x-2a+1x=(2a-1)x2-2ax+1x=(x-1)[(2a-1)x-1]x
①若a＞12，令g'（x）=0，得极值点x₁=1，x2=12a-1，
当x₂＞x₁=1，即12＜a＜1时，在（x₂，+∞）上有g'（x）＞0，
此时g（x）在区间（x₂，+∞）上是增函数，并且在该区间上有g（x）∈（g（x₂），+∞），不合题意；
当x₂＜x₁=1，即a≥1时，同理可知，g（x）在区间（1，+∞）上，有g（x）∈（g（1），+∞），也不合题意；
②若a≤12，则有2a-1≤0，此时在区间（1，+∞）上恒有g'（x）＜0，
从而g（x）在区间（1，+∞）上是减函数；
要使g（x）＜0在此区间上恒成立，只须满足g(1)=-a-12≤0⇒a≥-12，
由此求得a的范围是[-12，12]．
综合①②可知，当a∈[-12，12]时，函数f（x）的图象恒在直线y=2ax下方．

点击查看函数的奇偶性、周期性知识点讲解,巩固学习

解析

12

考点

据考高分专家说，试题“已知函数f(x)=(a-12)x2+In.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性

函数的奇偶性定义：

偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。 
 
函数的周期性：

（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。

奇函数与偶函数性质：

（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。

注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．

2、函数的周期性    令a , b 均不为零，若： 
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a| 
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a| 
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =

  ==> 函数最小正周期 T=|2a| 
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 

  ==> 函数最小正周期 T=|4a|