题文
设函数f（x）=x|x-1|+m（m∈R），g（x）=lnx．（1）记h（x）=f（x）+g（x），求函数h（x）的单调增区间；
（2）若∀x∈[1，+∞），方程f（x）＞g（x）恒成立，求m的取值范围． 题型：未知 难度：其他题型
答案
（1）因为函数g（x）的定义域为（0，+∞），所以h（x）的定义域为（0，+∞）所以h(x)=x2-x+lnx+m，x≥1-x2+x+lnx+m，0＜x＜1.
从而得：h′(x)=2x2-x+1x，x≥1-2x2+x+1x，0＜x＜1.
①当x≥1时，由h'（x）＞0得2x2-x+1x＞0，即2x2-x+1＞0，其判别式△＞0恒成立，
故区间[1，+∞）是函数h（x）的单调增区间；
②当0＜x＜1时，由h'（x）＞0得-2x2+x+1x＞0得112x2-x-1＜0120＜x＜113即0＜x＜1，
故区间（0，1）也是函数h（x）的单调增区间．
综上所述，函数h（x）的单调增区间是（0，+∞）．
（2）由题意得：x（x-1）+m＞lnx，∀x∈[1，+∞）恒成立，
即m＞-x（x-1）+lnx，∀x∈[1，+∞）恒成立，
设F（x）=-x2+x+lnx，x∈[1，+∞），则
F′(x)=-2x+1+1x=-(x-1)(2x+1)x，
显然，当x∈[1，+∞）时，F（x）≤0恒成立，
所以，F（x）在区间[1，+∞）上是单调减函数，
所以[F（x）]max=F（1）=0，
所以m的取值范围是（0，+∞）．
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解析
x2-x+lnx+m，x≥1-x2+x+lnx+m，0＜x＜1.考点
据考高分专家说，试题“设函数f（x）=x|x-1|+m（m∈R.....”主要考查你对 [函数的奇偶性、周期性 ]考点的理解。 函数的奇偶性、周期性函数的奇偶性定义：
偶函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）=f（x），则称函数f（x）为偶函数。
奇函数：一般地，如果对于函数f（x）的定义域内任意一个x，都有f（-x）＝-f（x），那么函数f（x）是奇函数。
函数的周期性：
（1）定义：若T为非零常数，对于定义域内的任一x，使f（x+T）=f（x）恒成立，则f（x）叫做周期函数，T叫做这个函数的一个周期。
周期函数定义域必是无界的。
（2）若T是周期，则k·T（k≠0，k∈Z）也是周期，所有周期中最小的正数叫最小正周期。一般所说的周期是指函数的最小正周期。
周期函数并非都有最小正周期，如常函数f（x）=C。
奇函数与偶函数性质：
（1）奇函数与偶函数的图像的对称性：奇函数的图像关于原点对称，偶函数的图像关于y轴对称。
（3）在公共定义域内，①两个奇函数的和是奇函数，两个奇函数的积是偶函数； ②两个偶函数的和、积是偶函数； ③一个奇函数，一个偶函数的积是奇函数。
注：定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
1、函数是奇函数或偶函数的前提定义域必须关于原点对称；定义域在数轴上关于原点对称是函数f(x)为奇函数或偶函数的必要但不充分条件．
2、函数的周期性 令a , b 均不为零，若：
（1）函数y = f(x) 存在 f(x)=f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|a|
（2）函数y = f(x) 存在f(a + x) = f(b + x) ==> 函数最小正周期 T=|b-a|
（3）函数y = f(x) 存在 f(x) = -f(x + a) ==> 函数最小正周期 T=|2a|
（4）函数y = f(x) 存在 f(x + a) =
==> 函数最小正周期 T=|2a|
（5）函数y = f(x) 存在 f(x + a) = 
==> 函数最小正周期 T=|4a|
